Mathématiques · 6e · Algèbre

Initiation à l'algèbre

Et si une lettre pouvait remplacer un nombre secret ? Découvre comment un tour de magie numérique cache les débuts de l'algèbre, et apprends à calculer et à résoudre des égalités avec des lettres.

30 min Cycle 3 — Classe de 6e · thème « Nombres et calculs » · attendu « Utiliser une lettre pour désigner un nombre inconnu ou une formule » — première marche vers le calcul littéral de cycle 4

On va comprendre, pas réciter. Prêt ?

À la fin, tu sauras

Tu sauras expliquer pourquoi on utilise une lettre pour représenter un nombre
Tu sauras calculer la valeur d'une expression en remplaçant la lettre par un nombre
Tu sauras résoudre une égalité simple en trouvant le nombre caché derrière la lettre
Tu sauras utiliser une formule (périmètre, aire) écrite avec des lettres

Prérequis : Les quatre opérations : addition, soustraction, multiplication, division · Calculer le périmètre et l'aire d'un carré ou d'un rectangle avec des nombres

Pense à un nombre, n'importe lequel. Ajoute $3$ . Multiplie le résultat par $2$ . Soustrais $6$ . Divise par $2$ . … Tu es retombé sur ton nombre de départ, non ? Essaie encore avec un autre nombre : ça marche à chaque fois ! Ce n'est pas de la magie, c'est de l'algèbre — et à la fin de cette leçon, tu sauras exactement pourquoi ce tour fonctionne, quel que soit le nombre choisi.

Une boîte fermée

Imagine une boîte fermée qui contient un nombre secret. Tu ne sais pas ce qu'il y a dedans, mais tu peux quand même faire des calculs avec la boîte : lui ajouter un nombre, la multiplier… Le contenu reste caché, mais le calcul, lui, est parfaitement clair. En maths, au lieu de dessiner une boîte, on utilise une lettre.

Reprends le tour de magie du début. Essaie-le avec trois nombres bien différents : $5$ , $20$ , puis $1\,000$ . Que remarques-tu sur le résultat final ?

Indice : Note bien, à chaque étape, le nombre que tu obtiens.

Réfléchis… puis déplie la réponse

Tu retombes chaque fois sur ton nombre de départ, quel qu'il soit ! Le résultat final ne dépend donc pas du nombre choisi au départ : il y a une raison mathématique cachée derrière ce tour, et elle est la même pour tous les nombres possibles.

Lettre (ou variable)

Puisque le tour marche pour tous les nombres, on va le vérifier une bonne fois pour toutes, sans choisir un nombre précis. On utilise une lettre, par exemple $n$ , pour désigner « n'importe quel nombre ». La lettre joue exactement le rôle de la boîte fermée : elle représente un nombre qu'on ne fixe pas.

Exemple résolu — Écrire le programme de calcul avec une lettre

1On part du nombre secret : $n$ .
2On ajoute $3$ : on obtient $n+3$ .
3On multiplie le résultat par $2$ : on obtient $2\times(n+3)$ .
4On soustrait $6$ : on obtient $2\times(n+3)-6$ .
5On divise par $2$ : on obtient $\big(2\times(n+3)-6\big)\div 2$ . Gardons cette écriture — on va la simplifier juste après.

La machine à calculer

Chaque boîte colorée est une étape du programme de calcul. Le nombre secret

n

entre à gauche… et ressort intact à droite !

Expression littérale

Une écriture qui contient une lettre, comme $n+3$ ou $2\times(n+3)-6$ , s'appelle une expression littérale : c'est un calcul écrit en général, valable pour toutes les valeurs possibles de la lettre. Elle n'a pas encore de valeur numérique tant qu'on n'a pas choisi de nombre à mettre à la place de la lettre.

Deux paquets identiques valent le double

Multiplier $(n+3)$ par $2$ , c'est avoir deux fois la même quantité $n+3$ , comme si on posait deux paquets identiques côte à côte : un paquet $n$ + un paquet $n$ , et un poids $3$ + un poids $3$ . Cela donne $n+n+3+3$ , c'est-à-dire $2\times n + 6$ . On peut donc écrire $2\times(n+3) = 2\times n + 6.$

Pourquoi le tour de magie marche à chaque fois

Pour n'importe quel nombre secret $n$ , le programme « ajoute $3$ , multiplie par $2$ , soustrais $6$ , divise par $2$ » redonne toujours $n$ .

Voir la démonstration

Reprenons l'expression littérale trouvée plus haut : $\big(2\times(n+3)-6\big)\div 2$ . On développe $2\times(n+3)$ grâce à l'idée des deux paquets : $2\times(n+3) = 2\times n + 6$ . L'expression devient $\big(2\times n + 6 - 6\big)\div 2$ . Le $+6$ et le $-6$ s'annulent : il reste $\big(2\times n\big)\div 2$ . Diviser par $2$ ce qu'on vient de multiplier par $2$ ramène exactement à $n$ . Voilà pourquoi ce tour marche pour tous les nombres : la démonstration ne dépend jamais de la valeur choisie pour $n$ .

Équation

Une égalité qui contient une lettre représentant un nombre inconnu, comme $x+5=12$ , s'appelle une équation. Imagine une balance à deux plateaux parfaitement équilibrée : le plateau de gauche porte un poids caché $x$ et un poids de $5$ ; le plateau de droite porte un poids de $12$ . « Résoudre » l'équation, c'est trouver la valeur de $x$ qui garde la balance équilibrée.

La balance de l'égalité

En retirant

5

des deux côtés à la fois, la balance reste équilibrée : il ne reste que

x

à gauche, et

7

à droite. Donc

x=7

Sur la balance ci-dessus, si on enlève un poids de $5$ du plateau de gauche mais qu'on n'enlève rien à droite, la balance reste-t-elle équilibrée ?

Indice : Pense à une vraie balance de cuisine.

Réfléchis… puis déplie la réponse

Non ! Si on change un seul côté, la balance bascule : elle n'est plus équilibrée. Pour garder une égalité vraie, il faut faire la même chose des deux côtés, toujours.

Résoudre une équation avec l'opération inverse

1Repère quelle opération a été faite sur $x$ (addition, soustraction, multiplication ou division par un nombre).
2Fais l'opération inverse des deux côtés de l'égalité : l'inverse d'ajouter $5$ est de soustraire $5$ ; l'inverse de multiplier par $4$ est de diviser par $4$ .
3Simplifie chaque côté : à gauche, il ne doit rester que $x$ .
4Vérifie ta réponse en la remplaçant dans l'équation de départ : les deux côtés doivent redonner le même nombre.

Exemple résolu — Résoudre $x+5=12$

1On veut isoler $x$ : il faut annuler le « $+5$ ».
2L'opération inverse de « $+5$ » est « $-5$ ». On soustrait $5$ des deux côtés : $x+5-5 = 12-5$ .
3À gauche, $+5$ et $-5$ s'annulent : il reste $x$ . À droite, $12-5=7$ .
4Donc $x=7$ .
5Vérification : $7+5=12$ . ✔

Exemple résolu — Résoudre $4\times x = 20$

1On veut isoler $x$ : il faut annuler le « $\times 4$ ».
2L'opération inverse de « $\times 4$ » est « $\div 4$ ». On divise les deux côtés par $4$ : $(4\times x)\div 4 = 20\div 4$ .
3À gauche, multiplier par $4$ puis diviser par $4$ ramène à $x$ . À droite, $20\div 4 = 5$ .
4Donc $x=5$ .
5Vérification : $4\times 5 = 20$ . ✔

Piège classique : dans $2\times n$ , le $2$ et le $n$ sont multipliés. Ne confonds jamais $2\times n$ (par exemple $2\times 5=10$ ) avec $2+n$ (par exemple $2+5=7$ ) : ce sont deux calculs totalement différents ! Autre piège : quand tu fais une opération pour résoudre une équation, tu dois toujours la faire des deux côtés du signe $=$ , jamais d'un seul côté.

Formule

Une formule est une expression littérale qui sert à calculer quelque chose d'utile, comme le périmètre ou l'aire d'une figure. Par exemple, pour un carré de côté $c$ : $P = 4\times c \qquad\text{et}\qquad A = c\times c.$ La lettre $c$ représente la longueur du côté, quelle qu'elle soit.

Exemple résolu — Utiliser une formule : le périmètre d'un carré

1Un carré a un côté $c=6$ cm.
2On utilise la formule $P=4\times c$ .
3On remplace $c$ par $6$ : $P = 4\times 6$ .
4On calcule : $P = 24$ cm.

Figure	Formule du périmètre	Formule de l'aire
Carré de côté $c$	$P=4\times c$	$A=c\times c$
Rectangle de longueur $L$ et largeur $l$	$P=2\times(L+l)$	$A=L\times l$

Dans chaque formule, chaque lettre représente une longueur que tu peux remplacer par le nombre de ton choix.

Calculer la valeur d'une expression littérale

1Repère la lettre dans l'expression.
2Remplace la lettre par le nombre donné, partout où elle apparaît.
3Respecte l'ordre des calculs (multiplications et divisions avant additions et soustractions).
4Calcule le résultat final : c'est un nombre.

Exemple résolu — Retour au tour de magie

1On a montré que le programme « $n \to +3 \to \times 2 \to -6 \to \div 2$ » redonne toujours $n$ .
2Vérifions avec $n=41$ : $41+3=44$ ; $44\times 2=88$ ; $88-6=82$ ; $82\div 2=41$ .
3On retombe bien sur $41$ ! Et ça marchera pour n'importe quel nombre que tu choisiras — c'est ça, la force d'une lettre en algèbre : elle prouve un résultat pour tous les nombres à la fois.

À retenir

Une lettre (par exemple $n$ ou $x$ ) représente n'importe quel nombre, ou un nombre inconnu à trouver.
Une expression littérale est un calcul écrit avec une lettre, comme $2\times n + 6$ .
Pour calculer la valeur d'une expression, on remplace la lettre par un nombre et on respecte l'ordre des calculs.
Une équation est une égalité avec une lettre inconnue ; on la résout en faisant la même opération inverse des deux côtés.
Une formule utilise des lettres pour calculer un périmètre ou une aire, valable pour toutes les longueurs possibles.
$2\times n$ (multiplication) et $2+n$ (addition) ne donnent jamais le même résultat : ne les confonds pas.

À toi de jouer

Pas de réponse à recopier : ici, on s’entraîne à raisonner. Bloqué ? Demande un indice avant la solution.

Exercice 1/10 · difficulté ●○○○○

Dans l'expression

n+5

, que représente la lettre

n