Mathématiques · 6e · Gestion de données

Tableaux et graphiques

Des chiffres bruts, ça ne parle pas. Un tableau ou un graphique bien construit, et tout devient clair en un coup d'œil. Apprends à lire, construire et choisir la bonne représentation.

40 min Cycle 3 — Classe de 6e · Domaine « Statistiques et probabilités » · Recueil, organisation et représentation de données (diagrammes en bâtons, diagrammes circulaires, tableaux de données)

On va comprendre, pas réciter. Prêt ?

À la fin, tu sauras

Tu sauras lire et compléter un tableau de données
Tu sauras lire un diagramme en barres (ou en bâtons) et un diagramme circulaire
Tu sauras construire toi-même un diagramme en barres à partir d'un tableau
Tu sauras calculer un effectif total et une fréquence simple
Tu sauras choisir la représentation la plus adaptée à une situation

Prérequis : Savoir lire et écrire des nombres entiers et décimaux · Connaître les quatre opérations (+, −, ×, ÷) · Savoir tracer un axe gradué

La maîtresse d'une école demande à ses 30 élèves quel est leur sport préféré. Elle note les réponses sur un bout de papier : foot, natation, foot, tennis, foot, judo, natation, foot… Au bout de 30 réponses, le bout de papier ressemble à un champ de bataille. Comment y voir clair ? C'est le problème que les statistiques résolvent — et c'est le sujet de ce cours.

Les données brutes, c'est comme une chambre en désordre

Quand tout est éparpillé, tu perds du temps à chercher. En rangeant par catégorie (les livres ensemble, les vêtements ensemble…), tu retrouves tout d'un coup d'œil. C'est exactement ça, un tableau de données : on regroupe les valeurs identiques pour en faire un résumé lisible.

Voici une liste de réponses : foot, natation, foot, tennis, foot, judo, natation, foot. Sans rien calculer, comment ferais-tu pour savoir quel sport revient le plus souvent ?

Indice : Essaie de cocher chaque mot au fur et à mesure — ou de faire un tableau avec une colonne par sport.

Réfléchis… puis déplie la réponse

On compte le nombre de fois que chaque sport apparaît. Ce nombre s'appelle l'effectif de ce sport. Foot revient 4 fois, natation 2 fois, tennis 1 fois, judo 1 fois. Le sport le plus fréquent est donc le foot.

Effectif et effectif total

L'effectif d'une valeur (ou d'une catégorie), c'est le nombre de fois qu'elle apparaît dans les données. On le note souvent $n$ . L'effectif total $N$ est la somme de tous les effectifs : $N = n_1 + n_2 + n_3 + \cdots$ C'est tout simplement le nombre total de personnes (ou d'objets) interrogés. Dans l'exemple du sport : $N = 4 + 2 + 1 + 1 = 8$ .

Effectif ou fréquence : quelle différence ?

Suppose que dans une classe de 8 élèves, 4 préfèrent le foot. Dans une autre classe de 40 élèves, 20 préfèrent le foot. Le sport est-il aussi populaire dans les deux classes ? Oui : dans chaque cas, c'est exactement la moitié des élèves. Mais les effectifs ( $4$ et $20$ ) sont différents. Pour comparer des groupes de tailles différentes, on utilise la fréquence, qui ramène tout à « sur 1 » (ou sur 100 pour cent).

Fréquence

La fréquence d'une valeur est sa part dans l'effectif total. Elle se calcule par la division : $f = \dfrac{n}{N}$ où $n$ est l'effectif de la valeur et $N$ l'effectif total. Le résultat est un nombre compris entre $0$ et $1$ (ou entre $0\,\%$ et $100\,\%$ si on multiplie par $100$ ). Dans l'exemple : fréquence du foot $= \dfrac{4}{8} = 0{,}5 = 50\,\%$ .

Exemple résolu — Construire un tableau de données

30 élèves d'une classe de 6e ont choisi leur sport préféré. Voici les effectifs : foot 12, natation 8, tennis 5, judo 3, autre 2. Complète le tableau et calcule les fréquences.

1On commence par vérifier l'effectif total : $N = 12 + 8 + 5 + 3 + 2 = 30$ . ✔
2Fréquence du foot : $\dfrac{12}{30} = 0{,}4 = 40\,\%$ .
3Fréquence de la natation : $\dfrac{8}{30} \approx 0{,}267 \approx 26{,}7\,\%$ .
4Fréquence du tennis : $\dfrac{5}{30} \approx 0{,}167 \approx 16{,}7\,\%$ .
5Fréquence du judo : $\dfrac{3}{30} = 0{,}1 = 10\,\%$ .
6Fréquence des autres : $\dfrac{2}{30} \approx 0{,}067 \approx 6{,}7\,\%$ .
7Vérification : $40 + 26{,}7 + 16{,}7 + 10 + 6{,}7 \approx 100\,\%$ . ✔ La somme des fréquences vaut toujours $100\,\%$ .

Sport	Effectif $n$	Fréquence $f = n/N$	Fréquence en %
Foot	$12$	$0{,}4$	$40\,\%$
Natation	$8$	$\approx 0{,}267$	$\approx 26{,}7\,\%$
Tennis	$5$	$\approx 0{,}167$	$\approx 16{,}7\,\%$
Judo	$3$	$0{,}1$	$10\,\%$
Autre	$2$	$\approx 0{,}067$	$\approx 6{,}7\,\%$
Total	$30$	$1$	$100\,\%$

La somme des effectifs donne $N$ ; la somme des fréquences vaut toujours $1$ (ou $100\,\%$). Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur quelque part.

Tu veux montrer la répartition des sports à tes parents. Tu as le choix entre un diagramme en barres et un diagramme circulaire (camembert). Lequel choisirais-tu, et pourquoi ?

Indice : Le diagramme circulaire montre des « parts » d'un tout. Le diagramme en barres permet surtout de comparer des hauteurs.

Réfléchis… puis déplie la réponse

Les deux fonctionnent ici. Le diagramme circulaire est idéal pour montrer que le foot représente 40 % du total — on voit immédiatement les « parts du gâteau ». Le diagramme en barres est plus facile à construire à la main et permet de comparer les effectifs ou fréquences d'un coup d'œil. En 6e, on utilise souvent les deux.

Diagramme en barres (ou en bâtons)

Un diagramme en barres est un graphique où chaque catégorie est représentée par une barre verticale. La hauteur de chaque barre est égale à l'effectif (ou à la fréquence) de la catégorie. Les barres sont séparées les unes des autres (ce ne sont pas des rectangles collés — ça, c'est un histogramme, qu'on verra plus tard). L'axe horizontal liste les catégories ; l'axe vertical est gradué avec les valeurs.

Diagramme en barres — Sports préférés (30 élèves)

Chaque barre représente un sport. Sa hauteur indique l'effectif (nombre d'élèves). Les barres sont séparées car les catégories sont distinctes.

Construire un diagramme en barres, étape par étape

1Étape 1 — Préparer le tableau. Liste toutes les catégories et leur effectif (ou fréquence). Calcule l'effectif total $N$ .
2Étape 2 — Tracer les axes. Axe horizontal : une place par catégorie, avec son nom. Axe vertical : gradué régulièrement de $0$ jusqu'à l'effectif le plus grand (ou un peu au-dessus).
3Étape 3 — Tracer les barres. Pour chaque catégorie, trace une barre dont la hauteur correspond à son effectif. Toutes les barres ont la même largeur et sont séparées.
4Étape 4 — Titrer et légender. Donne un titre au graphique. Indique ce que représente chaque axe.
5Étape 5 — Vérifier. Regarde si les hauteurs semblent cohérentes avec le tableau. La barre la plus haute correspond bien à l'effectif le plus grand ?

Diagramme circulaire (camembert)

Un diagramme circulaire est un disque découpé en secteurs (des « parts de camembert »). Chaque secteur correspond à une catégorie. L'angle du secteur est proportionnel à la fréquence de la catégorie. Comme le tour complet est $360°$ , l'angle d'un secteur se calcule ainsi : $\text{angle} = f \times 360° = \dfrac{n}{N} \times 360°$ Exemple : le foot (fréquence $40\,\%$ ) occupe un secteur d'angle $0{,}4 \times 360° = 144°$ .

Diagramme circulaire — Sports préférés (30 élèves)

Chaque secteur occupe une part du disque proportionnelle à sa fréquence. La somme de tous les secteurs fait 360°, comme les fréquences font 100 %.

Attention : un effectif et une fréquence, ce n'est pas la même chose. Dire « 12 élèves aiment le foot » (effectif) est différent de dire « 40 % des élèves aiment le foot » (fréquence). Ne mélange pas les deux sur un même graphique — les barres doivent représenter soit les effectifs, soit les fréquences, pas un mélange des deux.

Sur un diagramme en barres, la barre « Cinéma » a une hauteur de $9$ et la barre « Lecture » une hauteur de $3$ . L'effectif total est $N = 30$ . Peut-on dire que le cinéma est exactement 3 fois plus populaire que la lecture ?

Indice : Compare les effectifs : $9 \div 3 = ?$ . Puis compare les fréquences : $\dfrac{9}{30}$ et $\dfrac{3}{30}$ .

Réfléchis… puis déplie la réponse

Oui. $9 = 3 \times 3$ , donc le cinéma a un effectif $3$ fois plus grand. Et puisque les fréquences partagent le même dénominateur $N = 30$ , le rapport est conservé : $\dfrac{9}{30} = 3 \times \dfrac{3}{30}$ . La comparaison par les effectifs ET par les fréquences donne le même résultat ici. Ce n'est plus vrai si les deux groupes n'ont pas le même effectif total !

Lire un graphique de données — réflexe en 4 questions

1Question 1 — Que représente l'axe horizontal ? Les catégories (sports, mois, notes…) ou des valeurs numériques ?
2Question 2 — Que représente l'axe vertical (ou les secteurs) ? Des effectifs ? Des fréquences ? Des pourcentages ?
3Question 3 — Quelle est la valeur lue ? Pour une barre : lis la hauteur. Pour un secteur : lis l'angle ou le pourcentage indiqué.
4Question 4 — Cela fait-il sens ? Un effectif ne peut pas dépasser $N$ . Une fréquence est entre $0$ et $1$ (ou $0$ et $100\,\%$ ). La somme des secteurs fait $360°$ (ou $100\,\%$ ).

À retenir

L'effectif $n$ d'une catégorie = nombre de fois qu'elle apparaît. L'effectif total $N$ = somme de tous les effectifs.
La fréquence $f = \dfrac{n}{N}$ ramène l'effectif « sur 1 » (ou sur $100\,\%$ ). La somme de toutes les fréquences vaut toujours $1$ (ou $100\,\%$ ).
Un diagramme en barres : barres séparées, hauteur = effectif ou fréquence. Idéal pour comparer des catégories.
Un diagramme circulaire : disque découpé en secteurs. Angle d'un secteur $= \dfrac{n}{N} \times 360°$ . Idéal pour visualiser des parts d'un tout.
Pour construire un graphique : d'abord le tableau, puis les axes gradués, puis les barres ou secteurs, enfin le titre.
Ne jamais mélanger effectifs et fréquences sur un même graphique, et vérifier que la somme des effectifs donne bien $N$ .

À toi de jouer

Pas de réponse à recopier : ici, on s’entraîne à raisonner. Bloqué ? Demande un indice avant la solution.

Exercice 1/10 · difficulté ●○○○○

Dans une classe, on a relevé le moyen de transport utilisé pour venir à l'école. Voici le tableau : à pied (8 élèves), vélo (5 élèves), bus (12 élèves), voiture (5 élèves). Quel est l'effectif total

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