Mathématiques · 6e · Espace et volumes

Espace et volumes

Découvre les solides qui t'entourent au quotidien — cubes, pavés, cylindres, prismes — et apprends à calculer leurs volumes avec des formules que tu construiras toi-même, pas à pas.

40 min Cycle 3 — Classe de 6e · Programme de mathématiques (B.O. spécial n° 11 du 26 novembre 2015, révisé B.O. n° 31 du 30 juillet 2020) · Domaine « Espace et géométrie » et « Grandeurs et mesures » : reconnaître, nommer, décrire des solides ; calculer des volumes de solides droits (pavé, cylindre).

On va comprendre, pas réciter. Prêt ?

À la fin, tu sauras

Tu sauras reconnaître et nommer les solides usuels : cube, pavé droit, prisme droit, cylindre, pyramide
Tu sauras identifier les faces, arêtes et sommets d'un solide et lire un patron
Tu sauras calculer le volume d'un pavé droit et d'un cube
Tu sauras calculer le volume d'un cylindre droit
Tu sauras choisir la bonne unité de volume et convertir entre cm³, dm³ et litres

Prérequis : Calcul d'aires de figures planes (carré, rectangle, triangle) · Multiplications et divisions de nombres entiers et décimaux · Notion de périmètre et d'unités de mesure (cm, m, dm)

Tu achètes une brique de jus de fruits : « 1 litre ». Tu remplis une piscine gonflable : « 2 000 litres ». Tu ranges tes affaires dans un carton de déménagement. Dans tous ces cas, tu manipules un volume — la quantité d'espace à l'intérieur d'un objet. Mais comment la mesurer vraiment ? C'est ce qu'on va découvrir ensemble, en partant de solides que tu connais déjà.

Prends un dé à jouer dans une main et un livre dans l'autre. Les deux ont six faces. Sont-ils du même type de solide ? Qu'est-ce qui les distingue vraiment ?

Indice : Compare les faces du dé entre elles : ont-elles toutes la même forme et la même taille ? Même question pour le livre.

Réfléchis… puis déplie la réponse

Le dé a six faces toutes identiques, et ce sont des carrés : c'est un cube. Le livre a six faces rectangulaires, mais elles ne sont pas toutes identiques (la couverture est différente des côtés). C'est un pavé droit. Le cube est donc un cas particulier de pavé droit, celui où toutes les arêtes ont exactement la même longueur.

Solide — faces, arêtes, sommets

Un solide est une figure qui a trois dimensions (longueur, largeur, hauteur) et qui délimite une région de l'espace. On le décrit avec trois éléments :\n- face : chaque surface (plate ou courbe) qui borde le solide ;\n- arête : le bord commun entre deux faces ;\n- sommet : le point où se rejoignent au moins trois arêtes.

Les solides du quotidien

Regarde autour de toi : une boîte de céréales est un pavé droit, une canette est un cylindre, le toit d'une maison à quatre pentes est une pyramide, une tente triangulaire est un prisme triangulaire. Ces solides ont tous un point commun : on peut mesurer l'espace qu'ils occupent — leur volume.

Solide	Faces	Arêtes	Sommets	Exemple du quotidien
Cube	6 carrés identiques	12	8	Dé à jouer, Rubik's Cube
Pavé droit	6 rectangles (3 paires)	12	8	Boîte de céréales, livre
Prisme droit triangulaire	2 triangles + 3 rectangles	9	6	Tente de camping
Cylindre droit	2 disques + 1 surface courbe	—	—	Canette, bouteille
Pyramide à base carrée	1 carré + 4 triangles	8	5	Toit à 4 pentes

Les cylindres ont des surfaces courbes : on ne peut pas y compter d'arêtes ou de sommets au sens habituel.

Le pavé droit et ses trois dimensions

Le pavé droit a trois dimensions : longueur

L

, largeur

l

et hauteur

h

. Le cube est un pavé droit particulier où

L = l = h

Compter des cubes-unités pour trouver la formule

Imagine qu'on remplit un pavé droit avec de tout petits cubes de $1\,\text{cm}$ de côté — des cubes-unités. Sur la couche du bas, on en place $L \times l$ (autant que l'aire du fond). Puis on empile $h$ couches comme ça. Le nombre total de cubes-unités est donc $L \times l \times h$ . Et puisque chaque cube-unité vaut $1\,\text{cm}^3$ , le volume total est $L \times l \times h$ en cm³. La formule ne tombe pas du ciel : elle sort du comptage.

Un pavé droit mesure $5\,\text{cm}$ de long, $3\,\text{cm}$ de large et $4\,\text{cm}$ de haut. Combien de cubes de $1\,\text{cm}$ de côté peut-on y ranger en tout ?

Indice : Compte d'abord combien de cubes rentrent dans une seule couche horizontale (longueur $\times$ largeur), puis multiplie par le nombre de couches.

Réfléchis… puis déplie la réponse

Une couche : $5 \times 3 = 15$ cubes. Il y a $4$ couches. Total : $15 \times 4 = 60$ cubes-unités, donc $V = 60\,\text{cm}^3$ . La formule qui se dégage est $V = L \times l \times h$ .

Volume du pavé droit et du cube

Pavé droit de longueur $L$ , largeur $l$ , hauteur $h$ : $V = L \times l \times h.$ Cube de côté $a$ : c'est un pavé droit particulier où $L = l = h = a$ , donc $V = a \times a \times a = a^3.$

Voir la démonstration

On remplit le pavé de cubes-unités (côté $1\,\text{cm}$ ). On en place $L$ par rangée, $l$ rangées par couche, et $h$ couches. Total : $L \times l \times h$ cubes-unités, d'où $V = L \times l \times h$ . C'est le raisonnement de la question maïeutique, rendu général.

Exemple résolu — Volume d'une boîte de céréales

Une boîte de céréales mesure $20\,\text{cm}$ de long, $7\,\text{cm}$ de large et $30\,\text{cm}$ de haut. Quel est son volume ?

1Les trois dimensions sont : $L = 20\,\text{cm}$ , $l = 7\,\text{cm}$ , $h = 30\,\text{cm}$ .
2On applique : $V = L \times l \times h = 20 \times 7 \times 30$ .
3 $20 \times 7 = 140$ , puis $140 \times 30 = 4\,200$ .
4Donc $V = 4\,200\,\text{cm}^3$ .
5Vérification : $1\,\text{L} = 1\,000\,\text{cm}^3$ , donc la boîte fait $4{,}2\,\text{L}$ — cohérent pour une boîte de céréales classique.

Attention aux unités ! Si les dimensions sont en cm, le volume est en $\text{cm}^3$ . Si elles sont en m, c'est en $\text{m}^3$ . On ne mélange jamais cm et m dans un même calcul : il faut d'abord tout convertir dans la même unité. Rappel clé : $1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{L} = 1\,000\,\text{cm}^3$ et $1\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{L} = 1\,000\,000\,\text{cm}^3$ .

Et si la base était un disque ?

Pour un pavé droit, on a fait : volume $=$ aire de la base $\times$ hauteur. La base est un rectangle d'aire $L \times l$ . Cette idée marche pour n'importe quelle base. Pour un cylindre, la base est un disque de rayon $r$ , dont l'aire vaut $\pi r^2$ . Donc le volume du cylindre, c'est $\pi r^2 \times h$ . Même principe, base différente !

Volume d'un cylindre droit

Le volume $V$ d'un cylindre droit de rayon $r$ et de hauteur $h$ est : $V = \pi \times r^2 \times h$

Voir la démonstration

On empile des disques très fins d'aire $\pi r^2$ . En accumulant $h$ couches d'épaisseur $1$ , on obtient $V = \pi r^2 \times h$ . Même raisonnement que pour le pavé : aire de la base $\times$ hauteur.

Le cylindre droit et ses dimensions

Le cylindre a deux bases circulaires de rayon

r

et une hauteur

h

. Son volume

= \pi r^2 \times h

s'obtient en multipliant l'aire d'un disque par la hauteur.

Calculer un volume en 4 étapes

1Identifier le solide : pavé droit (ou cube) ? Cylindre ? Regarde les faces et la forme des bases.
2Relever les dimensions et vérifier qu'elles sont toutes dans la même unité (si ce n'est pas le cas, convertir d'abord).
3Appliquer la bonne formule :\n— Pavé droit : $V = L \times l \times h$ \n— Cube de côté $a$ : $V = a^3$ \n— Cylindre : $V = \pi \times r^2 \times h$
4Écrire l'unité du résultat : dimensions en cm → volume en $\text{cm}^3$ ; dimensions en m → volume en $\text{m}^3$ .

Exemple résolu — Volume d'une bouteille cylindrique

Une bouteille cylindrique a un rayon de $r = 4\,\text{cm}$ et une hauteur de $h = 22\,\text{cm}$ . Calcule son volume. On prendra $\pi \approx 3{,}14$ .

1C'est un cylindre : $V = \pi \times r^2 \times h$ .
2On calcule d'abord $r^2 = 4^2 = 16$ .
3Puis $V = 3{,}14 \times 16 \times 22$ .
4 $3{,}14 \times 16 = 50{,}24$ , puis $50{,}24 \times 22 = 1\,105{,}28$ .
5Donc $V \approx 1\,105\,\text{cm}^3$ .
6Vérification : $1\,\text{L} = 1\,000\,\text{cm}^3$ , donc la bouteille contient environ $1{,}1\,\text{L}$ . C'est raisonnable !

Ne confonds jamais aire et volume. L'aire mesure une surface (deux dimensions, unité : $\text{cm}^2$ ). Le volume mesure l'espace intérieur d'un solide (trois dimensions, unité : $\text{cm}^3$ ). Exemple : pour peindre l'extérieur d'une boîte, tu calcules l'aire de ses faces. Pour la remplir d'eau, tu calcules son volume. Deux questions différentes, deux formules différentes.

À retenir

Un solide se décrit par ses faces, arêtes et sommets. Le patron est la figure plane qui se replie pour reconstituer le solide.
Volume du pavé droit : $V = L \times l \times h$
Volume du cube de côté $a$ : $V = a^3$
Volume du cylindre de rayon $r$ et hauteur $h$ : $V = \pi \times r^2 \times h$
Unités : dimensions en cm $\Rightarrow$ volume en $\text{cm}^3$ . Conversions clés : $1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{L} = 1\,000\,\text{cm}^3$ .
**Aire $\neq$ volume** : l'aire est en $\text{cm}^2$ (surface), le volume en $\text{cm}^3$ (espace intérieur).

À toi de jouer

Pas de réponse à recopier : ici, on s’entraîne à raisonner. Bloqué ? Demande un indice avant la solution.

Exercice 1/10 · difficulté ●○○○○

Lequel de ces solides a exactement 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets ?