Mathématiques · 6e · Figures planes

Figures planes et constructions

Découvre les grandes familles de figures planes — triangles, quadrilatères, cercles — et apprends à les construire avec les bons outils. Parce que reconnaître une figure, c'est déjà comprendre sa structure.

40 min Cycle 3 — Classe de 6e · Domaine « Espace et géométrie » · B.O. spécial n° 11 du 26 novembre 2015 · Compétences : reconnaître, nommer, décrire, reproduire, construire des figures géométriques planes

On va comprendre, pas réciter. Prêt ?

À la fin, tu sauras

Tu sauras reconnaître et nommer les principales figures planes (triangles, quadrilatères, cercle)
Tu sauras identifier les propriétés caractéristiques de chaque figure (côtés égaux, angles droits…)
Tu sauras construire un triangle avec règle, équerre et compas
Tu sauras utiliser les définitions pour justifier pourquoi une figure est (ou n'est pas) un carré, un rectangle, etc.
Tu sauras calculer le périmètre de figures simples

Prérequis : Savoir utiliser une règle graduée et mesurer une longueur · Connaître les notions de droite, demi-droite et segment · Notions de base d'angles (aiguë, obtus, droit) vues à l'école primaire

Regarde autour de toi : la fenêtre de ta salle de classe est un rectangle, la pizza dans ton assiette est un cercle, et le panneau « Stop » en route est un octogone. La géométrie ne vit pas dans les livres — elle est partout. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à reconnaître ces figures, à les décrire avec précision, et à les construire toi-même. Une figure bien décrite, c'est une figure qu'on peut reconstruire à l'identique même les yeux fermés.

Plat comme une feuille

Une figure plane, c'est une figure qu'on peut dessiner entièrement sur une feuille de papier. Elle vit dans le plan — pas dans l'espace (contrairement à un cube ou une boule). Ce chapitre, c'est 100 % « plat » : triangles, carrés, cercles… tout se dessine sur ta feuille.

Regarde ces trois figures : un triangle, un carré, un cercle. Selon toi, qu'est-ce qui distingue le cercle des deux autres ?

Indice : Compte le nombre de côtés (segments droits) de chaque figure. Qu'as-tu trouvé pour le cercle ?

Réfléchis… puis déplie la réponse

Le triangle a 3 côtés, le carré en a 4. Le cercle, lui, n'a aucun côté droit — sa bordure est entièrement courbe. On appelle polygone toute figure fermée formée uniquement de segments. Le triangle et le carré sont des polygones ; le cercle n'en est pas un.

Polygone

Un polygone est une figure plane fermée dont le contour est formé uniquement de segments appelés côtés. Les points où deux côtés se rejoignent sont les sommets. On note les sommets par des lettres majuscules : $A$ , $B$ , $C$ … Un polygone à $n$ côtés s'appelle un $n$ -gone : triangle = 3 côtés, quadrilatère = 4 côtés, pentagone = 5 côtés, hexagone = 6 côtés.

Triangles et quadrilatères : vue d'ensemble

Cinq figures à connaître : quatre polygones (triangle, rectangle, carré, losange) et le cercle, qui n'en est pas un.

Les familles de triangles

Un triangle est un polygone à 3 côtés et 3 sommets. On le note $ABC$ . Il existe plusieurs familles selon ses côtés ou ses angles : - Quelconque : aucune propriété particulière. - Isocèle : au moins deux côtés égaux (et donc deux angles égaux à la base). - Équilatéral : les trois côtés égaux (et les trois angles égaux, chacun à $60°$ ). - Rectangle : possède un angle droit ( $90°$ ). Ces familles peuvent se combiner : un triangle peut être à la fois isocèle et rectangle.

Dessine n'importe quel triangle sur une feuille, découpe ses trois angles, puis colle-les côte à côte (pointe contre pointe). Que remarques-tu ? Essaie avec plusieurs triangles très différents.

Indice : Les trois angles forment-ils une demi-tour (un angle plat de $180°$ ) ou autre chose ?

Réfléchis… puis déplie la réponse

Les trois angles forment toujours exactement un angle plat, c'est-à-dire $180°$ . Ce n'est pas un hasard : dans tout triangle $ABC$ , $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°.$ Cette propriété est fondamentale — elle sert à calculer un angle inconnu dès qu'on connaît les deux autres.

La somme des angles d'un triangle vaut 180°

Dans tout triangle $ABC$ : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°.$

Voir la démonstration

Voici pourquoi c'est vrai (version accessible en 6e). Trace le triangle $ABC$ . Par le sommet $B$ , trace une droite parallèle à $[AC]$ . Les deux angles qui se forment de chaque côté de $\widehat{B}$ sur cette droite valent exactement $\widehat{A}$ et $\widehat{C}$ — c'est la propriété des droites parallèles que tu verras en détail plus tard. Ces trois angles ( $\widehat{A}$ , $\widehat{B}$ , $\widehat{C}$ ) sont alors côte à côte et forment un angle plat : leur somme est $180°$ . C'est exactement ce que tu as observé en découpant.

Exemple résolu — Trouver un angle manquant

Dans un triangle $ABC$ , $\widehat{A} = 50°$ et $\widehat{B} = 70°$ . Quelle est la mesure de $\widehat{C}$ ?

1On sait que $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$ .
2On remplace les valeurs connues : $50° + 70° + \widehat{C} = 180°$ .
3On simplifie : $120° + \widehat{C} = 180°$ .
4On soustrait $120°$ des deux côtés : $\widehat{C} = 180° - 120° = 60°$ .
5Vérification : $50° + 70° + 60° = 180°$ . ✔

Les quadrilatères usuels

Un quadrilatère est un polygone à 4 côtés. Voici les principales familles, du plus général au plus particulier : - Trapèze : au moins une paire de côtés parallèles (les bases). - Parallélogramme : deux paires de côtés parallèles et égaux deux à deux ; les diagonales se coupent en leur milieu. - Rectangle : parallélogramme avec 4 angles droits ; les diagonales sont égales. - Losange : parallélogramme avec 4 côtés égaux ; les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. - Carré : à la fois rectangle et losange → 4 côtés égaux + 4 angles droits.

Figure	Côtés parallèles	Côtés égaux	Angles droits	Diagonales
Trapèze	1 paire	—	—	—
Parallélogramme	2 paires	2 paires	—	Se coupent en leur milieu
Rectangle	2 paires	2 paires	4	Égales + se coupent en leur milieu
Losange	2 paires	4 côtés égaux	—	Perpendiculaires + se coupent en leur milieu
Carré	2 paires	4 côtés égaux	4	Égales, perpendiculaires, se coupent en leur milieu

Chaque ligne hérite des propriétés de la ligne au-dessus : le carré a TOUTES les propriétés.

Les quadrilatères, c'est comme les poupées russes

Tout carré est un losange (il a 4 côtés égaux). Tout carré est aussi un rectangle (il a 4 angles droits). Mais un losange n'est pas forcément un carré — ses angles peuvent être obliques. Pense aux poupées russes : le carré est la plus petite poupée, enfermée dans le losange, lui-même dans le parallélogramme, etc. Quand tu prouves qu'une figure est un carré, tu prouves du même coup qu'elle vérifie toutes les propriétés des figures « plus grandes ».

Cercle et disque

Fixe un point $O$ (le centre) et une longueur $r > 0$ (le rayon). Le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble de tous les points situés exactement à la distance $r$ de $O$ . Le disque est la zone intérieure (tout ce qui est à une distance au plus $r$ de $O$ ). Concrètement : le cercle, c'est le bord ; le disque, c'est le bord + l'intérieur. Un diamètre est un segment passant par le centre et reliant deux points du cercle ; il mesure $2r$ .

Cercle : centre, rayon et diamètre

Le cercle (bord bleu) regroupe tous les points à distance exacte

r

du centre

O

. Le diamètre

AB

vaut

2r

Construire un triangle connaissant ses 3 côtés

1Données : triangle $ABC$ avec $AB = 6$ cm, $BC = 5$ cm, $CA = 4$ cm.
2Étape 1 : Trace le segment $[AB]$ de $6$ cm à la règle.
3Étape 2 : Ouvre le compas à $5$ cm (longueur $BC$ ). Plante la pointe en $B$ et trace un arc du côté où doit se trouver $C$ .
4Étape 3 : Règle le compas à $4$ cm (longueur $CA$ ). Plante la pointe en $A$ et trace un deuxième arc. Le point $C$ est l'intersection des deux arcs.
5Étape 4 : Relie $A$ à $C$ et $B$ à $C$ à la règle. Vérifie les longueurs.
6Pourquoi ça marche ? Le compas dessine tous les points à une distance fixée d'un sommet. L'intersection donne l'unique point à la bonne distance des deux extrémités en même temps.

Piège classique : « Ce quadrilatère a 4 côtés égaux, donc c'est un carré. » C'est faux ! Un losange a aussi 4 côtés égaux, mais ses angles ne sont pas droits — ce n'est pas un carré. Pour qu'une figure soit un carré, il faut deux conditions réunies : 4 côtés égaux ET 4 angles droits. Une seule condition ne suffit pas.

Calculer le périmètre d'une figure

1Le périmètre d'une figure, c'est la longueur totale de son contour — imagine une fourmi qui fait le tour complet : la distance qu'elle parcourt, c'est le périmètre.
2Pour un polygone quelconque : additionne les longueurs de tous ses côtés.
3Pour un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ : $P = 2L + 2\ell = 2(L + \ell).$
4Pour un carré de côté $c$ : $P = 4c.$
5Pour un triangle équilatéral de côté $a$ : $P = 3a.$
6Attention aux unités : si les longueurs sont en cm, le périmètre est en cm. Ne mélange jamais cm et mm dans un même calcul.

Exemple résolu — Périmètre d'un rectangle

Un rectangle a une longueur de $8$ cm et une largeur de $3$ cm. Calcule son périmètre.

1Formule : $P = 2(L + \ell)$ .
2On remplace : $P = 2 \times (8 + 3)$ .
3On calcule la parenthèse : $8 + 3 = 11$ .
4On multiplie : $P = 2 \times 11 = 22$ cm.
5Le périmètre est ** $22$ cm**.

Un carré a un périmètre de $28$ cm. Quelle est la longueur d'un de ses côtés ?

Indice : Un carré a 4 côtés égaux. Si le total fait $28$ cm, comment trouver la longueur d'un seul côté ?

Réfléchis… puis déplie la réponse

Le périmètre d'un carré est $P = 4c$ , donc $c = P \div 4$ . Ici $c = 28 \div 4 = 7$ cm. Chaque côté mesure 7 cm. Ce type de raisonnement — retrouver une mesure à partir du périmètre — est exactement l'inverse de la formule.

À retenir

Un polygone est une figure plane fermée à côtés droits (segments) ; le cercle n'en est pas un.
Dans tout triangle : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$ — cela permet de trouver un angle manquant.
Carré = 4 côtés égaux + 4 angles droits ; un losange seul (sans angles droits) n'est pas un carré.
Tout carré est un rectangle et un losange, mais l'inverse est faux.
Périmètre d'un rectangle : $P = 2(L + \ell)$ ; d'un carré : $P = 4c$ .
Pour construire un triangle dont on connaît les 3 longueurs, on utilise le compas : l'intersection des deux arcs donne le troisième sommet.

À toi de jouer

Pas de réponse à recopier : ici, on s’entraîne à raisonner. Bloqué ? Demande un indice avant la solution.

Exercice 1/10 · difficulté ●○○○○

Parmi les figures suivantes, laquelle N'EST PAS un polygone ?