Mathématiques · 6e · Fractions

Les fractions

Partager une pizza, mesurer une longueur, comparer des recettes… les fractions sont partout. Découvre comment les lire, les comparer et calculer avec elles — sans jamais les subir.

40 min Cycle 3 — 6e · Domaine « Nombres et calculs » · Fractions : sens, représentations, comparaison, calcul (B.O. spécial n°11 du 26 novembre 2015, mis à jour 2024)

On va comprendre, pas réciter. Prêt ?

À la fin, tu sauras

Tu sauras lire et écrire une fraction et identifier son numérateur et son dénominateur
Tu sauras représenter une fraction sur une droite graduée ou un dessin
Tu sauras reconnaître deux fractions égales (fractions équivalentes)
Tu sauras comparer deux fractions de même dénominateur
Tu sauras additionner et soustraire des fractions de même dénominateur

Prérequis : Multiplication et division de nombres entiers · Notion de partage équitable (CM2) · Repérage sur une droite graduée

Tu as commandé une pizza avec trois amis : vous êtes 4 personnes et la pizza est coupée en 8 parts égales. Tu manges 3 parts. Comment écrire « ta part de pizza » en maths, d'un seul coup, sans phrase ? C'est exactement ce qu'une fraction fait — et c'est bien plus puissant qu'il n'y paraît.

Un partage, une écriture

Quand on coupe quelque chose en morceaux égaux, on a besoin de deux informations : - Combien de morceaux on a coupé en tout (c'est le bas de la fraction). - Combien de morceaux on prend (c'est le haut de la fraction). Écrire $\dfrac{3}{8}$ se lit « trois huitièmes » — c'est 3 morceaux parmi 8 morceaux égaux.

Fraction

Une fraction est une écriture de la forme $\dfrac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers et $b \neq 0$ . - $a$ s'appelle le numérateur (en haut) : il dit combien de morceaux on prend. - $b$ s'appelle le dénominateur (en bas) : il dit en combien de morceaux égaux on a coupé. Le trait de fraction est une autre façon d'écrire la division : $\dfrac{3}{8} = 3 \div 8$ . ⚠️ Le dénominateur ne peut jamais être $0$ : couper quelque chose en $0$ morceaux n'a aucun sens.

Si tu coupes une barre de chocolat en 4 parties égales et que tu en manges 1, quelle fraction cela représente-t-il ? Et si tu en manges les 4 parties, quelle fraction obtiens-tu ? Qu'est-ce que cela vaut comme nombre entier ?

Indice : Le numérateur = nombre de morceaux pris, le dénominateur = nombre de morceaux au total.

Réfléchis… puis déplie la réponse

En mangeant 1 partie sur 4, tu prends $\dfrac{1}{4}$ de la barre. En mangeant les 4 parties sur 4, tu prends $\dfrac{4}{4}$ — c'est-à-dire la barre entière, donc $1$ . Cela montre que $\dfrac{4}{4} = 1$ : quand numérateur et dénominateur sont égaux, la fraction vaut $1$ entier.

Représenter des fractions sur un disque

La partie colorée (azur) représente les parts prises. Même dénominateur

8

: les morceaux sont de même taille.

\dfrac{5}{8} > \dfrac{3}{8}

car

5 > 3

Les fractions sur la droite graduée

Une droite graduée, tu la connais : entre $0$ et $1$ il y a un espace. Si tu coupes cet espace en $4$ parties égales, chaque graduation vaut $\dfrac{1}{4}$ . La deuxième graduation vaut $\dfrac{2}{4}$ , la troisième $\dfrac{3}{4}$ , et la quatrième revient exactement sur $1 = \dfrac{4}{4}$ . Ainsi placer $\dfrac{3}{4}$ sur une droite, c'est aller aux $\frac{3}{4}$ du chemin entre $0$ et $1$ .

Placer $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{2}{4}$ et $\dfrac{3}{4}$ sur une droite

L'intervalle

[0\,;\,1]

est coupé en

4

parties égales. Chaque saut vaut

\dfrac{1}{4}

Fraction égale à un nombre entier

Quand le numérateur est un multiple du dénominateur, la fraction est égale à un nombre entier : $\dfrac{b}{b} = 1 \qquad \dfrac{2b}{b} = 2 \qquad \dfrac{3b}{b} = 3 \quad \text{etc.}$ Par exemple : $\dfrac{6}{3} = 2$ car $6 = 2 \times 3$ , et $\dfrac{15}{5} = 3$ car $15 = 3 \times 5$ . Le trait de fraction est une division : $\dfrac{a}{b} = a \div b$ .

Tu coupes une pizza en 4 et tu prends 2 parts : tu as $\dfrac{2}{4}$ . Ton ami coupe la même pizza en 2 (deux moitiés) et en prend 1 : il a $\dfrac{1}{2}$ . Qui a mangé plus ?

Indice : Dessine les deux pizzas sur une feuille et compare les surfaces colorées.

Réfléchis… puis déplie la réponse

Vous avez mangé exactement la même quantité ! $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ : on dit que ce sont des fractions équivalentes. Couper chaque moitié en deux parts égales donne 4 quarts, mais la moitié de la pizza reste la moitié.

Fractions équivalentes

On peut multiplier (ou diviser) le numérateur et le dénominateur par un même nombre entier non nul sans changer la valeur de la fraction : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} \qquad \text{et} \qquad \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k}$ (à condition que $k \neq 0$ et que les divisions tombent juste).

Voir la démonstration

Pourquoi ? Imagine $\dfrac{1}{2}$ : une part sur deux. Si tu coupes chaque part en $3$ morceaux identiques, tu obtiens maintenant $3$ morceaux sur $6$ , soit $\dfrac{3}{6}$ . Tu n'as pas changé ta quantité — tu l'as juste découpée différemment. Multiplier haut et bas par $3$ revient exactement à ça. On peut aussi vérifier par le calcul : $1 \div 2 = 0{,}5$ et $3 \div 6 = 0{,}5$ . Même résultat. ✔

Simplifier une fraction (trouver la fraction la plus simple)

1Cherche un nombre entier $k$ (différent de $1$ ) qui divise exactement (sans reste) le numérateur ET le dénominateur.
2Divise haut et bas par $k$ .
3Recommence jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de diviseur commun autre que $1$ .
4La fraction obtenue est dite irréductible — on ne peut plus la simplifier.
5Exemple rapide : $\dfrac{12}{18}$ . Diviser par $6$ : $12 \div 6 = 2$ et $18 \div 6 = 3$ . Donc $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$ (irréductible).

Exemple résolu — Simplifier $\dfrac{20}{30}$

1 $20$ et $30$ sont-ils tous les deux divisibles par $2$ ? Oui : $20 \div 2 = 10$ et $30 \div 2 = 15$ . Donc $\dfrac{20}{30} = \dfrac{10}{15}$ .
2 $10$ et $15$ sont-ils divisibles par $5$ ? Oui : $10 \div 5 = 2$ et $15 \div 5 = 3$ . Donc $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ .
3 $2$ et $3$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ : la fraction $\dfrac{2}{3}$ est irréductible.
4Résultat final : $\dfrac{20}{30} = \dfrac{2}{3}$ .

Comparer des fractions de même dénominateur

Si deux fractions ont le même dénominateur, celle dont le numérateur est le plus grand est la plus grande : $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c} \iff a < b.$

Voir la démonstration

Pourquoi c'est logique ? Imagine une pizza coupée en $8$ parts égales. $\dfrac{3}{8}$ représente 3 parts et $\dfrac{5}{8}$ représente 5 parts. Les parts ont la même taille (même dénominateur), donc plus de parts = plus à manger. On compare juste le nombre de parts prises, c'est-à-dire les numérateurs.

Additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur

1Vérifie que les dénominateurs sont identiques. Si ce n'est pas le cas, il faut d'abord les rendre égaux.
2Garde le dénominateur : il ne change pas.
3Additionne (ou soustrais) uniquement les numérateurs.
4Simplifie le résultat si possible.
5En formule : $\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}$ et $\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}$ .

Exemple résolu — Calculer $\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7}$

1Même dénominateur ( $7$ ) : on peut additionner directement.
2On additionne les numérateurs : $3 + 2 = 5$ .
3On garde le dénominateur : $\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$ .
4Peut-on simplifier $\dfrac{5}{7}$ ? $5$ et $7$ sont premiers (aucun diviseur commun autre que $1$ ) : la fraction est déjà irréductible.

Piège n°1 — additionner les dénominateurs. $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} \neq \dfrac{2}{8}$ ! Si tu coupes une pizza en 4 et que tu prends 1 part, puis encore 1 part, tu as $\dfrac{2}{4}$ , pas $\dfrac{2}{8}$ . Le dénominateur dit la taille des morceaux — il ne change pas quand on additionne des morceaux de même taille. Piège n°2 — simplifier sans vérifier. On ne divise haut et bas que par un nombre qui divise les deux exactement (sans reste). $\dfrac{7}{9}$ : $7$ ne divise pas $9$ , on ne peut rien simplifier. Piège n°3 — confondre numérateur et dénominateur. Le dénominateur est toujours en bas (astuce : « dénominateur » commence comme « dessous »).

Opération	Règle	Exemple
Fractions équivalentes	Multiplier ou diviser haut ET bas par le même $k \neq 0$	$\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$
Simplifier	Diviser haut et bas par un diviseur commun	$\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$
Comparer (même dénominateur)	Comparer les numérateurs	$\dfrac{3}{8} < \dfrac{5}{8}$
Additionner (même dénominateur)	Additionner les numérateurs, garder le dénominateur	$\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{7}$
Soustraire (même dénominateur)	Soustraire les numérateurs, garder le dénominateur	$\dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{7}$

Ces cinq opérations constituent le cœur du chapitre. Toutes s'appuient sur la même idée : le dénominateur fixe la taille des morceaux.

À retenir

$\dfrac{a}{b}$ : $a$ = numérateur (combien on prend), $b$ = dénominateur (en combien de parts — jamais $0$ ).
Le trait de fraction est une division : $\dfrac{a}{b} = a \div b$ .
Fractions équivalentes : multiplier ou diviser haut ET bas par le même nombre non nul ne change pas la valeur — $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}$ .
Comparer avec le même dénominateur : le plus grand numérateur donne la plus grande fraction.
Additionner ou soustraire avec le même dénominateur : on opère uniquement sur les numérateurs, le dénominateur reste inchangé — $\dfrac{a}{c} \pm \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \pm b}{c}$ .
Piège à ne jamais commettre : ne jamais additionner les dénominateurs.

À toi de jouer

Pas de réponse à recopier : ici, on s’entraîne à raisonner. Bloqué ? Demande un indice avant la solution.

Exercice 1/10 · difficulté ●○○○○

Dans la fraction

\dfrac{5}{9}

, quel est le numérateur et quel est le dénominateur ?