Mathématiques · 6e · Grandeurs et mesures

Longueurs, masses et contenances

Apprends à mesurer et comparer des longueurs, des masses et des contenances avec la bonne unité — et à passer de l'une à l'autre sans jamais te tromper de sens.

40 min Cycle 3 — 6e — Grandeurs et mesures : longueurs, masses, contenances ; unités usuelles, relations entre unités et conversions

On va comprendre, pas réciter. Prêt ?

À la fin, tu sauras

Connaître les unités de longueur, de masse et de contenance, et l'ordre dans lequel elles se rangent
Convertir une longueur, une masse ou une contenance d'une unité à une autre
Choisir l'unité la mieux adaptée à une situation réelle
Comprendre *pourquoi* le tableau de conversion fonctionne, pas seulement l'appliquer par cœur

Prérequis : Les nombres décimaux (l'écriture à virgule) · Multiplier et diviser par 10, 100, 1000

Ta recette de gâteau demande $250$ g de farine, $20$ cL de lait et une pincée de sel. Ton mètre-ruban de couturière est gradué en cm et en mm. Le camion qui livre les meubles a une charge maximale de $3,5$ t. Trois grandeurs différentes — une masse, une contenance, une longueur — et à chaque fois une unité bien choisie. Mais comment passer d'une unité à l'autre sans te tromper, et surtout : pourquoi ça marche ?

Toujours la même règle : le paquet de 10

Tu connais déjà cette idée avec les nombres : 10 unités font 1 dizaine, 10 dizaines font 1 centaine... Pour les longueurs, les masses et les contenances, c'est exactement pareil : chaque unité est 10 fois plus grande que celle rangée juste après elle. On ne va pas se contenter de te le dire : on va le voir.

Pourquoi n'utilise-t-on pas toujours le mètre, pour absolument tout mesurer ? Essaie d'imaginer l'épaisseur d'une pièce de 1 euro écrite en mètres, puis la distance Paris–Marseille écrite en millimètres.

Indice : Pense au nombre de zéros ou de chiffres après la virgule que ça donnerait.

Réfléchis… puis déplie la réponse

L'épaisseur d'une pièce, en mètres, ça donne $0,0016$ m : une avalanche de zéros inutiles. La distance Paris–Marseille en mm, ça donne environ $775\,000\,000$ mm : un nombre énorme, imbuvable. Dans les deux cas, le nombre devient illisible. C'est pour ça qu'on choisit une unité adaptée à la taille de ce qu'on mesure : le mm pour une pièce de monnaie, le km pour un trajet.

Les unités de longueur

L'unité de référence pour les longueurs est le mètre (m). Autour de lui se rangent des unités plus grandes (des multiples) et plus petites (des sous-multiples) : $\text{km} \quad \text{hm} \quad \text{dam} \quad \boxed{\text{m}} \quad \text{dm} \quad \text{cm} \quad \text{mm}$ En partant du mètre : le kilomètre (km) vaut $1000$ m, l'hectomètre (hm) $100$ m, le décamètre (dam) $10$ m ; à l'inverse, le décimètre (dm) vaut $\dfrac{1}{10}$ m, le centimètre (cm) $\dfrac{1}{100}$ m, et le millimètre (mm) $\dfrac{1}{1000}$ m.

L'échelle des longueurs

Chaque case vaut 10 fois la case juste à sa droite : un escalier à marches de 10, exactement comme pour les nombres décimaux.

Pourquoi chaque unité vaut 10 fois la précédente

Prends un ruban de $1$ m. Coupe-le en $10$ morceaux égaux : chaque morceau mesure $1$ dm — c'est même la définition du décimètre, un dixième de mètre. Coupe maintenant un de ces morceaux de $1$ dm en $10$ parts égales : chaque part fait $1$ cm. Coupe encore un cm en $10$ : tu obtiens $1$ mm. À chaque étape, tu multiplies ou tu divises par $10$ — comme pour les nombres décimaux.

Voir la démonstration

$1\text{ dm} = \dfrac{1}{10}\text{ m} \qquad 1\text{ cm} = \dfrac{1}{10}\text{ dm} = \dfrac{1}{100}\text{ m} \qquad 1\text{ mm} = \dfrac{1}{10}\text{ cm} = \dfrac{1}{1000}\text{ m}.$ Voilà pourquoi passer à l'unité suivante (plus petite) revient à multiplier par 10, et passer à l'unité précédente (plus grande) revient à diviser par 10. Or multiplier ou diviser un nombre décimal par $10$ , c'est juste déplacer la virgule d'un rang. Convertir une longueur, c'est donc juste... déplacer la virgule !

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
1000 m	100 m	10 m	1 m	0,1 m	0,01 m	0,001 m

Le tableau des unités de longueur. Une seule case par unité, dans le bon ordre : c'est lui qui te dit combien de rangs déplacer la virgule.

Convertir une longueur (ou une masse, ou une contenance)

1Place l'unité de départ et l'unité d'arrivée dans le tableau des unités, dans l'ordre.
2Compte le nombre de colonnes à traverser, et dans quel sens.
3Vers une unité plus petite (vers la droite) : tu multiplies par 10 à chaque colonne, donc tu déplaces la virgule vers la droite.
4Vers une unité plus grande (vers la gauche) : tu divises par 10 à chaque colonne, donc tu déplaces la virgule vers la gauche.
5Vérifie toujours avec le bon sens : dans une unité plus petite, le nombre doit devenir plus grand.

Exemple résolu — Convertir $3,45$ m en cm

1On va de m à cm : m → dm → cm, soit $2$ colonnes vers la droite (vers le plus petit).
2On déplace donc la virgule de $2$ rangs vers la droite : $3,45$ devient $345$ .
3Donc $3,45\text{ m} = 345\text{ cm}$ .
4Vérification bon sens : le cm est plus petit que le m, il en faut donc plus pour la même longueur — et $345 > 3,45$ . ✔

Le piège numéro 1 : déplacer la virgule du mauvais côté. Astuce imparable : demande-toi toujours si l'unité d'arrivée est plus petite ou plus grande que celle de départ. Vers une unité plus petite, le nombre doit devenir plus grand (il faut davantage de petites unités pour la même quantité). Si ton résultat va dans le sens inverse, tu t'es trompé de sens.

Les unités de masse

Pour les masses (ce qu'on appelle souvent le « poids » d'un objet), l'unité de référence est le gramme (g). Le tableau fonctionne exactement pareil : $\text{t} \quad \text{kg} \quad \text{hg} \quad \text{dag} \quad \boxed{\text{g}} \quad \text{dg} \quad \text{cg} \quad \text{mg}$ La tonne (t) vaut $1000$ kg, c'est-à-dire $1\,000\,000$ g : on la réserve aux objets très lourds, comme un camion ou un éléphant.

Des repères pour ne jamais te tromper d'ordre de grandeur

Un trombone pèse environ $1$ g. Un sac de farine, environ $1$ kg. Une petite voiture, environ $1$ t. Avant même de calculer une conversion, demande-toi : est-ce que mon résultat est raisonnable pour cet objet ? Si ton calcul te donne un trombone de $1000$ kg, tu sais déjà que quelque chose s'est cassé en route.

t	kg	hg	dag	g	dg	cg	mg
1 000 000 g	1000 g	100 g	10 g	1 g	0,1 g	0,01 g	0,001 g

Le tableau des unités de masse : même principe, une case par unité, toujours dans le bon ordre.

Exemple résolu — Convertir $2500$ g en kg

1On va de g à kg : g → dag → hg → kg, soit $3$ colonnes vers la gauche (vers le plus grand).
2On déplace la virgule de $3$ rangs vers la gauche : $2500$ (c'est-à-dire $2500,0$ ) devient $2,500$ .
3Donc $2500\text{ g} = 2,5\text{ kg}$ .
4Vérification : le kg est plus grand que le g, le nombre a bien diminué. ✔

Les unités de contenance

La contenance, c'est ce qu'un récipient peut contenir : l'eau d'une bouteille, le lait d'un verre. L'unité de référence est le litre (L). Même logique, encore : $\text{kL} \quad \text{hL} \quad \text{daL} \quad \boxed{\text{L}} \quad \text{dL} \quad \text{cL} \quad \text{mL}$ Une petite bouteille d'eau fait souvent $50$ cL, c'est-à-dire $500$ mL, soit une demi-bouteille de $1$ L.

Un verre gradué

Sur un verre gradué, chaque petit trait correspond à une unité de contenance — comme les petites cases du tableau de conversion.

Un pot de yaourt indique « 125 g » et une brique de lait indique « 1 L ». Peux-tu comparer directement les deux nombres, $125$ et $1$ , pour savoir lequel est le plus grand ?

Indice : Regarde bien de quelle sorte de grandeur il s'agit dans chaque cas.

Réfléchis… puis déplie la réponse

Non ! $125$ g mesure une masse, $1$ L mesure une contenance : ce ne sont pas la même sorte de grandeur — un peu comme comparer des poires et des kilomètres. On ne convertit jamais un gramme en litre directement : chaque grandeur (longueur, masse, contenance) a son propre tableau, sa propre échelle.

Exemple résolu — Une situation qui mélange les trois grandeurs

1Une recette pour $6$ personnes demande $300$ g de chocolat, $25$ cL de crème, et une plaque de longueur $24$ cm.
2Tu veux la refaire pour $12$ personnes : il faut doubler chaque quantité d'ingrédient.
3Masse : $300\text{ g} \times 2 = 600\text{ g}$ , soit $0,6$ kg.
4Contenance : $25\text{ cL} \times 2 = 50\text{ cL}$ , soit $0,5$ L (une demi-brique).
5Longueur : ta plaque de $24$ cm ne double pas — ce n'est pas une quantité d'ingrédient, c'est la taille du moule. Elle reste à $24$ cm (soit $240$ mm).
6Ce qu'il faut retenir : masse et contenance changent avec la quantité de la recette ; une longueur d'objet, non.

Choisir la bonne unité selon la situation

1Objet très léger (bijou, médicament) → mg ou g.
2Objet du quotidien (sac, personne) → kg.
3Objet très lourd (camion, bateau) → t.
4Petite quantité de liquide (sirop, médicament) → mL ou cL.
5Grande quantité de liquide (piscine, réservoir) → L ou hL.
6Petite longueur (fourmi, épaisseur d'une pièce) → mm ou cm.
7Grande distance (trajet, pays) → km.

À retenir

Trois grandeurs différentes — longueur (m), masse (g), contenance (L) — qu'on ne convertit jamais l'une en l'autre.
Dans chaque tableau d'unités, une unité vaut toujours 10 fois celle placée juste à sa droite.
Convertir, c'est déplacer la virgule : vers la droite pour une unité plus petite, vers la gauche pour une unité plus grande.
$1\text{ m} = 100\text{ cm} = 1000\text{ mm}$ · $1\text{ kg} = 1000\text{ g}$ · $1\text{ L} = 1000\text{ mL}$ .
Toujours vérifier avec le bon sens : dans une unité plus petite, le nombre obtenu doit être plus grand.
La tonne sert aux objets très lourds, le mg aux très petites masses (comme un médicament).

À toi de jouer

Pas de réponse à recopier : ici, on s’entraîne à raisonner. Bloqué ? Demande un indice avant la solution.

Exercice 1/10 · difficulté ●○○○○

Combien de centimètres y a-t-il dans

1

mètre ?