Mathématiques · 6e · Nombres entiers et décimaux

Les nombres entiers et décimaux

Comprends d'où viennent les nombres décimaux, comment les lire et les comparer — parce qu'un prix, une mesure ou un score ont toujours un sens derrière la virgule.

40 min Cycle 3 — Classe de 6e · Domaine « Nombres et calculs » · B.O. spécial n°11 du 26 novembre 2015 : « Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux. »

On va comprendre, pas réciter. Prêt ?

À la fin, tu sauras

Tu sauras lire et écrire un nombre décimal en identifiant chaque chiffre selon sa position
Tu sauras repérer un nombre décimal sur une droite graduée
Tu sauras comparer et ranger des nombres décimaux dans l'ordre croissant ou décroissant
Tu sauras décomposer un décimal en parties entière et décimale
Tu sauras encadrer un décimal entre deux entiers consécutifs

Prérequis : Savoir compter et écrire les nombres entiers jusqu'à un milliard (CM2) · Connaître les tables de multiplication · Avoir manipulé des mesures de longueur (cm, mm) ou de prix en euros et centimes

Tu passes à la caisse et ton ticket affiche $12{,}75\,€$ . Ton thermomètre indique $18{,}3\,°C$ . Le chrono de la piscine affiche $1{,}47$ seconde. Tous ces nombres ont quelque chose en commun : une virgule. Mais que signifie exactement ce petit signe ? Et pourquoi $1{,}47$ est-il plus grand que $1{,}4$ ? Cette leçon va tout éclaircir.

La règle graduée comme point de départ

Imagine une règle dont les centimètres sont découpés en dix petites divisions. Chaque petite division mesure exactement $\dfrac{1}{10}$ de centimètre, soit $0{,}1$ cm. Voilà l'idée-clé : un nombre décimal, c'est un entier auquel on colle des morceaux plus petits que $1$ , obtenus en divisant par $10$ , par $100$ , par $1\,000$ …

Si tu partages $1$ euro en dix pièces égales, combien vaut chaque pièce ? Et si tu partages $1$ euro en cent pièces égales ?

Indice : Une pièce de $10$ centimes, c'est bien $\dfrac{1}{10}$ d'euro.

Réfléchis… puis déplie la réponse

Chaque pièce vaut $\dfrac{1}{10} = 0{,}1$ euro dans le premier cas, et $\dfrac{1}{100} = 0{,}01$ euro dans le second. On retrouve exactement les rangs décimaux : dixièmes et centièmes. La virgule sépare la partie entière (euros) de la partie décimale (centimes).

Nombre entier

Un nombre entier est un nombre qui s'écrit sans virgule : $0, 1, 2, 3, \ldots, 100, 1\,000\,\ldots$ Il compte des objets en entier — jamais des morceaux. On dit aussi qu'il appartient à l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels.

Nombre décimal

Un nombre décimal est un nombre qui possède une partie entière et une partie décimale (après la virgule). Exemple : dans $3{,}47$ — la partie entière est $3$ , la partie décimale est $47$ centièmes. Tout nombre entier est aussi un nombre décimal (on peut écrire $5 = 5{,}0$ ), mais l'inverse est faux.

Rang	Milliers	Centaines	Dizaines	Unités	Dixièmes	Centièmes	Millièmes
Valeur d'une case	$1\,000$	$100$	$10$	$1$	$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$
Fraction	$\dfrac{1\,000}{1}$	$\dfrac{100}{1}$	$\dfrac{10}{1}$	$\dfrac{1}{1}$	$\dfrac{1}{10}$	$\dfrac{1}{100}$	$\dfrac{1}{1\,000}$
Exemple : $4\,205{,}063$	$4$	$2$	$0$	$5$	$0$	$6$	$3$

La virgule est la frontière entre la partie entière (à gauche) et la partie décimale (à droite). À gauche, chaque rang vaut **dix fois** le précédent ; à droite, chaque rang vaut **dix fois moins** que le précédent.

Le tableau de numération de $3{,}47$

Chaque case a un rang fixe. La virgule sépare la partie entière (gauche) de la partie décimale (droite). Pour

3{,}47

: le

4

vaut

4

dixièmes

= 0{,}4

et le

7

vaut

7

centièmes

= 0{,}07

Lire un décimal comme une adresse

Pense à $3{,}47$ comme à une adresse : « j'habite au numéro $3$ , couloir $4$ (dixièmes), case $7$ (centièmes) ». Chaque chiffre occupe une case précise du tableau des rangs. Le chiffre $4$ ne vaut pas $4$ — il vaut $4$ dixièmes $= 0{,}4$ . Le chiffre $7$ vaut $7$ centièmes $= 0{,}07$ .

Décomposer un nombre décimal

1Repère la virgule : tout ce qui est à gauche est la partie entière, tout ce qui est à droite est la partie décimale.
2Identifie le rang de chaque chiffre décimal : 1er rang après la virgule = dixièmes, 2e = centièmes, 3e = millièmes.
3Écris la décomposition : $a{,}bcd = a + \dfrac{b}{10} + \dfrac{c}{100} + \dfrac{d}{1\,000}$ .
4Exemple : $12{,}305 = 12 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{0}{100} + \dfrac{5}{1\,000} = 12 + 0{,}3 + 0 + 0{,}005$ .

Exemple résolu — Décomposer $7{,}46$

1Partie entière : $7$ .
2Premier chiffre après la virgule : $4$ → c'est $4$ dixièmes $= \dfrac{4}{10} = 0{,}4$ .
3Deuxième chiffre après la virgule : $6$ → c'est $6$ centièmes $= \dfrac{6}{100} = 0{,}06$ .
4Décomposition complète : $7{,}46 = 7 + \dfrac{4}{10} + \dfrac{6}{100} = 7 + 0{,}4 + 0{,}06.$
5Vérification : $7 + 0{,}4 + 0{,}06 = 7{,}46$ ✓

Les zéros à droite d'un décimal ne changent pas sa valeur : $3{,}5 = 3{,}50 = 3{,}500$ . En revanche, les zéros entre la virgule et un chiffre significatif comptent : $3{,}05 \neq 3{,}5$ (trois virgule cinq vs trois virgule zéro cinq). Ne supprime jamais un zéro sans regarder où il se trouve !

Comparer deux nombres décimaux

1Étape 1 — Comparer les parties entières. Si elles diffèrent, le plus grand nombre est celui qui a la partie entière la plus grande. Exemple : $5{,}9 < 7{,}1$ parce que $5 < 7$ .
2Étape 2 — Si les parties entières sont égales, on compare rang par rang, en partant des dixièmes. Exemple : $3{,}47$ vs $3{,}52$ → dixièmes : $4 < 5$ , donc $3{,}47 < 3{,}52$ .
3Étape 3 — Astuce : ajoute des zéros pour que les deux nombres aient le même nombre de décimales, puis compare comme des entiers. Exemple : $2{,}3$ vs $2{,}30$ → même nombre ; $2{,}3$ vs $2{,}31$ → $2{,}30$ vs $2{,}31$ → $230 < 231$ , donc $2{,}3 < 2{,}31$ .

As-tu l'impression que $0{,}9$ est plus grand que $0{,}85$ ? Comment t'en assurer sans te tromper ?

Indice : Ajoute un zéro à $0{,}9$ pour avoir le même nombre de décimales que $0{,}85$ .

Réfléchis… puis déplie la réponse

$0{,}9 = 0{,}90$ . On compare maintenant $0{,}90$ et $0{,}85$ comme les entiers $90$ et $85$ : $90 > 85$ , donc $0{,}9 > 0{,}85$ . Piège classique : ne pas confondre « plus de chiffres » avec « plus grand ».

Encadrement entre deux entiers consécutifs

Tout nombre décimal $x$ se place entre deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ tels que $n \leq x < n+1.$ L'entier $n$ est la partie entière de $x$ , notée $E(x)$ ou simplement « partie entière ». Exemple : pour $x = 4{,}73$ , on a $4 \leq 4{,}73 < 5$ , donc la partie entière est $4$ .

Voir la démonstration

La partie entière de $x$ est tout simplement le chiffre (ou les chiffres) situés à gauche de la virgule — c'est la définition de notre écriture en base $10$ .

La droite graduée — zoomer entre 2 et 3

Entre

2

3

, on place

10

petites divisions (les dixièmes). Le point

2{,}6

est à la

6^e

petite division après

2

Exemple résolu — Placer $2{,}6$ sur une droite graduée

1On encadre : $2 \leq 2{,}6 < 3$ . Donc $2{,}6$ est entre $2$ et $3$ .
2On zoome sur l'intervalle $[2\,;\,3]$ découpé en dix parts égales (chaque part = $0{,}1$ ).
3 $2{,}6$ se place à la sixième graduation après $2$ (car $6$ dixièmes).
4Sur la droite : $2 \quad 2{,}1 \quad 2{,}2 \quad \ldots \quad \mathbf{2{,}6} \quad \ldots \quad 3$ .

Intercalation infinie

Entre deux nombres décimaux distincts, il en existe toujours un troisième (et même une infinité). Par exemple, entre $1{,}2$ et $1{,}3$ se trouve $1{,}25$ . C'est fondamentalement différent des entiers, entre lesquels il n'y a parfois rien : entre $4$ et $5$ , aucun entier.

** $0{,}10 \neq 0{,}1$ ? Si, c'est pareil !** Mais $0{,}10 \neq 0{,}01$ . Le rang compte : $0{,}10$ c'est $10$ centièmes $= 1$ dixième, et $0{,}01$ c'est $1$ centième. Ne confonds pas le nombre de chiffres avec leur position après la virgule.

Lire et écrire un nombre décimal en lettres

1Lis d'abord la partie entière normalement.
2Dis « virgule » (pas « point » en français).
3Lis chaque chiffre décimal séparément — ou mieux, lis le groupe de chiffres avec son rang.
4Exemple : $4{,}35$ se lit « quatre virgule trente-cinq centièmes » ou « quatre virgule trois cinq ».
5Exemple : $0{,}008$ se lit « zéro virgule huit millièmes ».

Exemple résolu — Ranger dans l'ordre croissant : $3{,}2$ ; $3{,}19$ ; $3{,}20$ ; $2{,}9$

1On commence par les parties entières : $2{,}9$ a pour partie entière $2$ , les autres ont $3$ . Donc $2{,}9$ est le plus petit.
2Pour les trois restants, parties entières égales ( $3$ ). On compare les dixièmes : $3{,}19 \to 1$ dixième, $3{,}2 \to 2$ dixièmes, $3{,}20 \to 2$ dixièmes.
3 $3{,}19$ a le moins de dixièmes, donc il vient en deuxième.
4 $3{,}2$ et $3{,}20$ : on compare les centièmes : $3{,}20$ a $0$ centième, $3{,}2 = 3{,}20$ aussi — ils sont égaux !
5Ordre croissant : $2{,}9 < 3{,}19 < 3{,}2 = 3{,}20.$

À retenir

Un nombre décimal possède une partie entière (avant la virgule) et une partie décimale (après la virgule).
Les rangs décimaux : dixièmes ( $\div 10$ ), centièmes ( $\div 100$ ), millièmes ( $\div 1\,000$ ).
Décomposition : $a{,}bcd = a + \dfrac{b}{10} + \dfrac{c}{100} + \dfrac{d}{1\,000}$ .
Pour comparer : parties entières d'abord, puis rang par rang ; astuce — aligner avec des zéros.
Zéros à droite inutiles : $5{,}30 = 5{,}3$ . Zéros intercalés indispensables : $5{,}03 \neq 5{,}3$ .
Tout décimal s'encadre entre deux entiers consécutifs : $n \leq x < n+1$ .

À toi de jouer

Pas de réponse à recopier : ici, on s’entraîne à raisonner. Bloqué ? Demande un indice avant la solution.

Exercice 1/10 · difficulté ●○○○○

Quel est le chiffre des centièmes dans le nombre

14{,}537