Mathématiques · 6e · Opérations

Les quatre opérations

Additionner, soustraire, multiplier, diviser : quatre gestes que tu fais chaque jour sans t'en rendre compte. Ce cours t'explique pourquoi ces opérations fonctionnent, comment bien les poser, et quand les utiliser.

40 min Cycle 3 — Programme de 6e · Domaine « Nombres et calculs » : opérations sur les entiers naturels et les décimaux, sens des opérations, division euclidienne — B.O. spécial n° 11 du 26 novembre 2015 (mis à jour 2018).

On va comprendre, pas réciter. Prêt ?

À la fin, tu sauras

Tu sauras poser et effectuer une addition et une soustraction en colonne
Tu sauras poser et effectuer une multiplication par un entier
Tu sauras poser et effectuer une division euclidienne et interpréter le reste
Tu sauras choisir la bonne opération selon la situation du problème
Tu sauras vérifier un résultat en utilisant l'opération inverse

Prérequis : Lire et écrire les nombres entiers jusqu'au million · Connaître les tables d'addition et de multiplication jusqu'à 10 · Notion de dizaines, centaines, milliers

Tu vas acheter quatre carnets à $3\,€$ chacun. La caissière te dit « ça fait $14\,€$ ». Quelque chose cloche ? Oui ! Sans même sortir une calculatrice, tu sais qu'elle se trompe. Comment tu le sais ? Parce que tu as multiplié $4 \times 3$ en moins d'une seconde. Les quatre opérations sont tes outils les plus puissants — et ce cours va te montrer pourquoi elles marchent.

L'addition, c'est rassembler

Imagine que tu as $13$ billes dans ta main gauche et $25$ dans ta main droite. Tu verses tout dans un sac. Combien de billes dans le sac ? Tu n'as pas « inventé » de nouvelles billes — tu les as juste rassemblées. C'est ça, l'addition : réunir des quantités sans en perdre ni en créer.

Si je pose $47 + 38$ en colonne, qu'est-ce qui se passe à la colonne des unités ? $7 + 8 = 15$ : je ne peux écrire qu'un seul chiffre. Que fais-je des dizaines ?

Indice : $15 = 1 \times 10 + 5$ : j'écris $5$ et je « retiens » $1$ dizaine.

Réfléchis… puis déplie la réponse

J'écris $5$ dans la colonne des unités et je retiens $1$ dans la colonne des dizaines. Ensuite, dizaines : $4 + 3 + 1_{\text{retenu}} = 8$ . Résultat : $85$ . La retenue, c'est simplement un groupe de $10$ qu'on « monte » à la colonne suivante.

Addition

L'addition de deux nombres $a$ et $b$ est notée $a + b$ . Le résultat s'appelle la somme. On dit que $a$ et $b$ sont les termes de l'addition. $a + b = \text{somme}$ L'addition est commutative : l'ordre des termes ne change pas la somme. $3 + 5 = 5 + 3 = 8$ .

Poser une addition en colonne

1Aligne les nombres chiffre par chiffre : unités sous unités, dizaines sous dizaines…
2Commence par la colonne de droite (les unités).
3Si la somme d'une colonne dépasse $9$ , écris le chiffre des unités et retiens le reste à la colonne suivante.
4Continue colonne par colonne vers la gauche en ajoutant la retenue éventuelle.
5Exemple : $364 + 278$ . Unités : $4+8=12$ , j'écris $2$ , retiens $1$ . Dizaines : $6+7+1=14$ , j'écris $4$ , retiens $1$ . Centaines : $3+2+1=6$ . Résultat : $642$ .

La soustraction, c'est enlever — ou mesurer un écart

Tu as $42$ billes. Tu en donnes $17$ à un ami. Il en reste combien ? La soustraction enlève une quantité d'une autre. Mais elle répond aussi à une autre question : « De combien dois-je augmenter $17$ pour atteindre $42$ ? » — c'est l'écart entre deux valeurs. Ces deux lectures sont les mêmes opération.

Soustraction

La soustraction de $b$ à $a$ est notée $a - b$ . Le résultat s'appelle la différence. $a - b = \text{différence}$ Vérification : si $a - b = c$ , alors $c + b = a$ (l'addition est l'opération inverse de la soustraction). Exemple : $42 - 17 = 25$ car $25 + 17 = 42$ .

À la colonne des unités, si le chiffre du haut est plus petit que celui du bas, on ne peut pas soustraire directement. On « emprunte » une dizaine à la colonne suivante : on ajoute $10$ en haut et on diminue le chiffre des dizaines d'en haut de $1$ . Ne pas oublier la compensation, sinon le résultat est faux ! Exemple : $52 - 37$ . Unités : $2 - 7$ impossible → j'emprunte : $12 - 7 = 5$ et je réduis les dizaines : $4 - 3 = 1$ . Résultat : $15$ .

La multiplication, c'est une addition répétée

Tu as $6$ boîtes, chacune contient $8$ crayons. Combien de crayons en tout ? Tu pourrais écrire $8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8$ — mais c'est long. La multiplication est un raccourci : $6 \times 8 = 48$ . Elle répète l'addition autant de fois qu'indiqué. $6 \times 8$ signifie « $8$ , pris $6$ fois ».

Visualiser $3 \times 4$ avec un rectangle de points

Chaque rangée contient

4

points, et il y a

3

rangées :

3 \times 4 = 12

. Si on tourne le rectangle, on lit

4 \times 3 = 12

— la multiplication est commutative.

Multiplication

La multiplication de $a$ par $b$ est notée $a \times b$ . Le résultat s'appelle le produit. $a$ et $b$ sont les facteurs. $a \times b = \text{produit}$ La multiplication est commutative : $a \times b = b \times a$ . Elle est aussi distributive sur l'addition : $a \times (b + c) = a \times b + a \times c.$ C'est cette propriété qui justifie la multiplication posée en colonne.

Pour calculer $7 \times 14$ de tête, un élève coupe $14$ en $10 + 4$ . Il calcule $7 \times 10 = 70$ puis $7 \times 4 = 28$ , puis additionne. Pourquoi a-t-il le droit de faire ça ?

Indice : Pense à la propriété qui lie la multiplication et l'addition.

Réfléchis… puis déplie la réponse

C'est la distributivité : $7 \times 14 = 7 \times (10 + 4) = 7 \times 10 + 7 \times 4 = 70 + 28 = 98$ . Chaque chiffre du nombre $14$ reçoit la même multiplication — c'est exactement ce que fait la multiplication posée en colonne !

Poser une multiplication

1Écris le plus grand nombre en haut, le multiplicateur en dessous.
2Commence par le chiffre de droite du multiplicateur.
3Multiplie ce chiffre par chaque chiffre du nombre du haut (de droite à gauche), en gérant les retenues.
4Si le multiplicateur a plusieurs chiffres, recommence pour chaque chiffre en décalant d'un rang vers la gauche (c'est la distributivité).
5Additionne tous les produits partiels.
6Exemple : $123 \times 45$ . D'abord $123 \times 5 = 615$ . Ensuite $123 \times 40 = 4\,920$ (décalé d'un rang). Somme : $615 + 4\,920 = 5\,535$ .

La division, c'est partager équitablement

Tu as $26$ bonbons à partager entre $4$ amis. Chacun doit recevoir le même nombre entier, et on ne coupe pas les bonbons. Combien en reçoit chacun ? Et il en reste combien ? La division répond à ces deux questions. Elle est l'opération inverse de la multiplication.

Division euclidienne

Diviser l'entier $a$ (le dividende) par l'entier $b$ non nul (le diviseur), c'est trouver deux entiers $q$ (le quotient) et $r$ (le reste) tels que : $a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r < b.$ Le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur. Si $r = 0$ , on dit que $b$ divise $a$ .

Exemple résolu — Diviser $26$ par $4$

1On cherche le plus grand multiple de $4$ qui ne dépasse pas $26$ .
2 $4 \times 6 = 24$ et $4 \times 7 = 28 > 26$ . Donc le quotient est $q = 6$ .
3Reste : $r = 26 - 4 \times 6 = 26 - 24 = 2$ .
4Vérification : $4 \times 6 + 2 = 24 + 2 = 26$ . ✔
5Conclusion : $26 = 4 \times 6 + 2$ . Chaque ami reçoit $6$ bonbons, et il en reste $2$ .
6Le reste $2$ est bien strictement inférieur au diviseur $4$ . ✔

Visualiser $26 \div 4$ sur une droite graduée

On fait des sauts de

4

sur la droite. Après

6

sauts, on est à

24

, puis il reste

2

pour atteindre

26

Le reste doit toujours être strictement inférieur au diviseur. Si tu trouves un reste plus grand que le diviseur, c'est que ton quotient est trop petit — il faut l'augmenter. Exemple : $29 \div 6$ . Si tu obtiens $q = 3$ et $r = 11$ , vérifie : $11 > 6$ → erreur ! On peut encore faire un saut de $6$ . Correction : $q = 4$ , $r = 29 - 24 = 5 < 6$ . ✔

Opération	Notation	Résultat	Opération inverse
Addition	$a + b$	somme	soustraction
Soustraction	$a - b$	différence	addition
Multiplication	$a \times b$	produit	division
Division euclidienne	$a \div b$	quotient + reste	multiplication

Chaque opération a une inverse : si tu connais le résultat, tu peux retrouver un des termes. C'est ce qui te permet de vérifier.

Choisir la bonne opération dans un problème

1Lis attentivement : repère ce qui est connu et ce qu'on cherche.
2Rassembler / ajouter des quantités → addition ( $+$ ).
3Retirer / trouver un écart → soustraction ( $-$ ).
4Répéter une quantité un certain nombre de fois → multiplication ( $\times$ ).
5Partager équitablement / regrouper par paquets → division ( $\div$ ).
6Après le calcul, vérifie avec l'opération inverse.

Exemple résolu — Problème : la classe de 6e et les cahiers

1Une classe de $28$ élèves reçoit $4$ cahiers de brouillon chacun. Combien de cahiers en tout ?
2Chaque élève reçoit $4$ cahiers, répété $28$ fois → multiplication.
3 $28 \times 4$ . On coupe $28 = 20 + 8$ (distributivité) : $20 \times 4 = 80$ et $8 \times 4 = 32$ , donc $80 + 32 = 112$ .
4La classe reçoit $112$ cahiers en tout.
5Vérification par division : $112 \div 4 = 28$ . ✔

À retenir

Quatre opérations : addition (somme), soustraction (différence), multiplication (produit), division euclidienne (quotient + reste).
Addition et soustraction posées en colonne : aligner les rangs, gérer les retenues ou les emprunts.
Multiplication : raccourci de l'addition répétée. La distributivité $a \times (b+c) = a \times b + a \times c$ justifie le calcul posé.
Division euclidienne : $a = b \times q + r$ avec $0 \leq r < b$ . Le reste est toujours strictement inférieur au diviseur.
Opérations inverses : addition ↔ soustraction ; multiplication ↔ division. Toujours vérifier !
Choisir l'opération selon la situation : rassembler → $+$ , enlever/écart → $-$ , répéter → $\times$ , partager/regrouper → $\div$ .

À toi de jouer

Pas de réponse à recopier : ici, on s’entraîne à raisonner. Bloqué ? Demande un indice avant la solution.

Exercice 1/10 · difficulté ●○○○○

Calcule

347 + 256