Mathématiques · 6e · Périmètres et aires

Périmètres et aires

Sais-tu vraiment ce que tu mesures quand tu fais le tour d'un jardin ou que tu peins un mur ? Découvre la différence entre périmètre et aire, et apprends à les calculer pour les figures du programme.

40 min Cycle 3 — classe de 6e · Domaine « Grandeurs et mesures » · B.O. spécial n° 11 du 26 novembre 2015 · Objectifs : calculer le périmètre et l'aire des figures usuelles (carré, rectangle, triangle) ; distinguer périmètre et aire.

On va comprendre, pas réciter. Prêt ?

À la fin, tu sauras

Tu sauras expliquer la différence entre périmètre et aire avec tes propres mots
Tu sauras calculer le périmètre d'un polygone quelconque en additionnant ses côtés
Tu sauras calculer l'aire d'un carré, d'un rectangle et d'un triangle
Tu sauras choisir la bonne unité (cm, m, cm², m²) selon ce qu'on mesure
Tu sauras résoudre un problème concret mêlant périmètre et aire

Prérequis : Multiplications et divisions de décimaux (CM2) · Notion de figure géométrique : carré, rectangle, triangle (CM1–CM2) · Unités de longueur (m, cm, mm) et conversions simples

Tu veux repeindre ta chambre : combien de pots de peinture acheter ? Tu veux poser une barrière autour d'un jardin : combien de mètres de bois commander ? Dans les deux cas, tu dois mesurer quelque chose — mais pas la même chose. Le premier cas demande l'aire, le second le périmètre. Si tu les confonds, tu achètes trop ou pas assez. Ce cours t'apprend à ne plus jamais les mélanger.

Le tour d'une figure et l'intérieur d'une figure

Imagine une piscine rectangulaire. Si tu marches tout autour du bord sans jamais traverser, tu parcours le périmètre : c'est une longueur, tu comptes des mètres. Si tu recouvres toute l'eau d'une bâche, tu habilles la surface : c'est une aire, tu comptes des mètres carrés (m²). Deux idées bien distinctes, deux unités bien distinctes.

Un jardin carré mesure 5 m de côté. Si je double la longueur de la clôture, est-ce que j'obtiens exactement le double de gazon à tondre ?

Indice : Calcule d'abord le périmètre (tour) et l'aire (surface) du jardin d'origine, puis refais le calcul pour un jardin deux fois plus grand de côté.

Réfléchis… puis déplie la réponse

Non ! Si le côté passe de $5$ m à $10$ m, le périmètre double (de $20$ m à $40$ m), mais l'aire est multipliée par 4 (de $25$ m² à $100$ m²). Le périmètre et l'aire ne grandissent pas au même rythme. C'est pour ça qu'on ne les confond jamais.

Périmètre

Le périmètre d'une figure, c'est la longueur totale de son contour : on additionne tous les côtés. C'est ce qu'on mesure avec une règle ou un mètre ruban qu'on ferait courir tout autour de la figure. L'unité est une unité de longueur : mm, cm, m, km. $\text{Périmètre} = \text{somme de tous les côtés}$

Exemple résolu — Périmètre d'un triangle aux côtés 3 cm, 4 cm, 5 cm

1Je repère les trois côtés : $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm.
2J'additionne : $P = 3 + 4 + 5$ .
3Résultat : $P = 12$ cm.
4Vérification du bon sens : $12$ cm, c'est bien une longueur — j'aurais pu vérifier avec un mètre ruban.

Formules de périmètre pour le carré et le rectangle

Soit $c$ le côté d'un carré et $L$ , $\ell$ la longueur et la largeur d'un rectangle. $P_{\text{carré}} = 4 \times c \qquad P_{\text{rectangle}} = 2 \times (L + \ell)$

Voir la démonstration

Un carré a 4 côtés égaux de longueur $c$ , donc son périmètre vaut $c + c + c + c = 4 \times c$ . Un rectangle a 2 longueurs et 2 largeurs, donc $P = L + \ell + L + \ell = 2L + 2\ell = 2 \times (L + \ell)$ . Ce sont des raccourcis pratiques — si tu les oublies, tu retrouves toujours en additionnant les côtés un par un.

Périmètre : on fait le tour

Le périmètre, c'est la longueur du chemin qu'on parcourt en faisant le tour de la figure sans jamais traverser l'intérieur.

Aire

L'aire d'une figure, c'est la mesure de sa surface — combien de place elle occupe à plat. On la mesure en unités d'aire : mm², cm², m², km². Un centimètre carré (cm²), c'est l'aire d'un petit carré de $1$ cm de côté. $\text{Aire} = \text{mesure de la surface (en unités carrées)}$

Pourquoi des unités « carrées » ?

Imagine que tu recouvres un rectangle avec des petits carreaux de $1$ cm de côté, comme du papier millimétré. Combien en rentrent ? C'est exactement l'aire en cm². On dit « carré » parce qu'on compte des petits carrés. Un mètre carré (m²), c'est la place qu'occupe un carré de $1$ m de côté — assez grand pour t'y asseoir confortablement.

Aire du rectangle et du carré

Avec $L$ la longueur et $\ell$ la largeur d'un rectangle, et $c$ le côté d'un carré : $\mathcal{A}_{\text{rectangle}} = L \times \ell \qquad \mathcal{A}_{\text{carré}} = c \times c$

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Pose un rectangle de $4$ cm sur $3$ cm sur du papier millimétré. La première rangée contient $4$ carreaux de $1$ cm². Il y a $3$ rangées. Total : $4 \times 3 = 12$ carreaux, donc $12$ cm². La formule $L \times \ell$ n'est rien d'autre que le comptage de ces carreaux, rangée par rangée. Pour le carré, les deux côtés sont égaux : $L = \ell = c$ , donc $\mathcal{A} = c \times c$ .

Regarde un triangle rectangle dont la base vaut $b = 6$ cm et la hauteur $h = 4$ cm. Si tu le places dans un rectangle de $6$ cm sur $4$ cm, quelle part du rectangle ce triangle occupe-t-il ?

Indice : Découpe mentalement (ou sur papier) le rectangle avec une diagonale : tu obtiens deux triangles rectangles identiques.

Réfléchis… puis déplie la réponse

La diagonale coupe le rectangle en deux triangles exactement identiques. Donc chaque triangle occupe la moitié du rectangle. Aire du rectangle : $6 \times 4 = 24$ cm². Aire du triangle : $24 \div 2 = 12$ cm². D'où la formule : $\mathcal{A}_{\text{triangle}} = \dfrac{b \times h}{2}$ .

Aire d'un triangle

Pour tout triangle de base $b$ et de hauteur $h$ correspondante (perpendiculaire à la base) : $\mathcal{A}_{\text{triangle}} = \dfrac{b \times h}{2}$

Voir la démonstration

Tout triangle peut être complété par une copie de lui-même pour former un rectangle (ou un parallélogramme). Aire du rectangle = $b \times h$ , donc aire du triangle = la moitié, soit $\dfrac{b \times h}{2}$ . Attention : la base $b$ et la hauteur $h$ doivent être perpendiculaires l'une à l'autre — la hauteur n'est pas toujours un côté visible.

Aire du triangle = moitié du rectangle

Le triangle bleu et le triangle en pointillés sont identiques. Ensemble ils forment le rectangle. Donc l'aire du triangle = la moitié de l'aire du rectangle.

Calculer un périmètre ou une aire en 4 étapes

1Identifier la figure : est-ce un carré, un rectangle, un triangle, ou un polygone quelconque ?
2Repérer les données : longueur, largeur, côté, base, hauteur — attention aux unités ! Si les mesures sont en unités différentes, convertis d'abord.
3Choisir la bonne formule et la recopier avec les lettres, puis remplace les lettres par les nombres.
4Vérifier l'unité du résultat : périmètre → unité de longueur (cm, m…) ; aire → unité d'aire (cm², m²…).

Exemple résolu — Pelouse rectangulaire : clôture et gazon

Une pelouse rectangulaire mesure $8$ m de longueur et $5$ m de largeur. (a) Quelle longueur de clôture faut-il pour l'entourer ? (b) Quelle surface de gazon faut-il semer ?

1(a) Périmètre — on fait le tour : $P = 2 \times (L + \ell) = 2 \times (8 + 5) = 2 \times 13 = 26$ m.
2Il faut donc $26$ m de clôture.
3(b) Aire — on couvre la surface : $\mathcal{A} = L \times \ell = 8 \times 5 = 40$ m².
4Il faut donc semer $40$ m² de gazon.
5Bilan : $26$ m (longueur de clôture) $\neq$ $40$ m² (surface de gazon). Ce sont deux grandeurs différentes, avec des unités différentes.

Piège 1 — l'unité trahit l'erreur. Écrire « $12$ cm » pour une aire ou « $40$ m² » pour un périmètre : l'unité révèle immédiatement la confusion. Un périmètre est toujours en cm, m… ; une aire est toujours en cm², m²… Piège 2 — la hauteur du triangle. Pour l'aire du triangle, il faut la hauteur perpendiculaire à la base — pas un côté quelconque. Si le triangle n'est pas rectangle, la hauteur n'est pas forcément un côté visible du triangle.

Figure	Périmètre	Aire
Carré (côté $c$ )	$4 \times c$	$c \times c$
Rectangle ( $L$ , $\ell$ )	$2 \times (L + \ell)$	$L \times \ell$
Triangle ( $b$ , $h$ )	somme des 3 côtés	$\dfrac{b \times h}{2}$
Polygone quelconque	somme de tous les côtés	(cas par cas)

Pour le triangle, le périmètre nécessite la longueur de chaque côté ; l'aire nécessite une base ET la hauteur correspondante (perpendiculaire à la base).

À retenir

Périmètre = longueur du contour → unité de longueur (cm, m…) → on additionne tous les côtés.
Aire = mesure de la surface → unité d'aire (cm², m²…) → on compte les carreaux unitaires.
Carré de côté $c$ : $P = 4 \times c$ et $\mathcal{A} = c \times c$ .
Rectangle $L \times \ell$ : $P = 2 \times (L + \ell)$ et $\mathcal{A} = L \times \ell$ .
Triangle (base $b$ , hauteur $h$ ) : $\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}$ — la hauteur est perpendiculaire à la base.
Si les données ont des unités différentes (ex. cm et m), convertis avant de calculer.

À toi de jouer

Pas de réponse à recopier : ici, on s’entraîne à raisonner. Bloqué ? Demande un indice avant la solution.

Exercice 1/10 · difficulté ●○○○○

Je fais le tour d'un carré de

6

cm de côté. Quelle grandeur est-ce que je mesure ?