Mathématiques · 6e · Proportionnalité

La proportionnalité

Tu achètes 3 stylos, tu en achètes 6 : le prix double. Derrière ce réflexe, se cache une idée mathématique puissante — la proportionnalité — qui explique les recettes de cuisine, les plans de maisons et les vitesses sur route.

40 min Cycle 3 — Programme de mathématiques de 6e · domaine « Nombres et calculs » et « Grandeurs et mesures » · BO n°31 du 30 juillet 2020

On va comprendre, pas réciter. Prêt ?

À la fin, tu sauras

Tu sauras reconnaître si deux grandeurs sont proportionnelles
Tu sauras trouver le coefficient de proportionnalité
Tu sauras utiliser la règle de trois pour calculer une valeur manquante
Tu sauras compléter un tableau de proportionnalité
Tu sauras distinguer une situation proportionnelle d'une situation qui ne l'est pas

Prérequis : Multiplications et divisions de nombres entiers et décimaux · Fractions simples (lecture et calcul de base) · Lecture d'un tableau à double entrée

Une recette de crêpes pour 4 personnes demande 250 g de farine. Tu invites 8 amis. Combien de farine faut-il ? Tu as probablement répondu 500 g en moins d'une seconde — sans écrire une ligne. Ce raisonnement automatique que tu viens de faire a un nom : c'est la proportionnalité. Ce cours va t'expliquer pourquoi ça marche… et te montrer quand ça ne marche pas.

Tout doubler, tout tripler…

Voici une idée simple : si tu multiplies la quantité de farine par 2, tu dois multiplier la quantité de beurre par 2 aussi. Si tu multiplies par 3, tout suit. On dit que les deux grandeurs « avancent ensemble au même rythme ». C'est ça, être proportionnel.

Regardons ce tableau. 1 stylo coûte 2 €, 2 stylos coûtent 4 €, 3 stylos coûtent 6 €. Que remarques-tu dans la deuxième ligne ? Qu'obtiens-tu si tu divises chaque prix par le nombre de stylos correspondant ?

Indice : $4 \div 2 = \, ?$ puis $6 \div 3 = \, ?$ — obtiens-tu toujours le même résultat ?

Réfléchis… puis déplie la réponse

À chaque fois, $\text{prix} \div \text{nombre de stylos} = 2$ . Le résultat est toujours le même : 2. Ce nombre qui ne change pas, c'est le cœur de la proportionnalité.

Coefficient de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si, pour passer de l'une à l'autre, on multiplie toujours par le même nombre. Ce nombre fixe s'appelle le coefficient de proportionnalité (souvent noté $k$ ). Dans notre exemple : $k = \dfrac{\text{prix en euros}}{\text{nombre de stylos}} = \dfrac{2}{1} = \dfrac{4}{2} = \dfrac{6}{3} = 2.$ Le coefficient $k = 2$ signifie « chaque stylo coûte 2 € ».

Un tableau de proportionnalité

Dans un tableau de proportionnalité, diviser un prix par le nombre de stylos donne toujours le même résultat : le coefficient k.

Le coefficient, c'est le « prix unitaire »

Dans la vie, $k$ est souvent quelque chose de très concret : le prix d'une seule chose (1 stylo = 2 €), la vitesse en km/h (1 heure = 80 km), la quantité pour une personne (1 part = 250 g de farine). Le coefficient de proportionnalité, c'est toujours « combien pour une seule unité ».

Comment trouver k et compléter un tableau

1Étape 1 — Repère une colonne complète : une colonne où tu connais les deux valeurs.
2Étape 2 — Calcule k : $k = \dfrac{\text{valeur de la 2e ligne}}{\text{valeur de la 1re ligne}}$ .
3Étape 3 — Complète : pour chaque colonne incomplète, multiplie la valeur connue par $k$ .
4Vérification : divise chaque valeur de la 2e ligne par la valeur de la 1re ligne — tu dois toujours trouver $k$ .

Exemple résolu — Compléter un tableau de proportionnalité

Un robinet remplit 3 litres en 4 minutes. Combien de litres remplit-il en 12 minutes ?

1Je repère la colonne complète : 3 litres en 4 minutes.
2Je calcule le coefficient : $k = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$ (litre par minute).
3Pour 12 minutes : $12 \times 0{,}75 = 9$ litres.
4Réponse : le robinet remplit 9 litres en 12 minutes.
5Vérification : $9 \div 12 = 0{,}75$ ✓ — même coefficient.

Pour aller de 3 litres (en 4 min) à 9 litres (en 12 min), tu aurais pu remarquer que $12 = 4 \times 3$ . Qu'est-ce que ça donne sur les litres ?

Indice : Si le temps est multiplié par 3, que se passe-t-il pour les litres ?

Réfléchis… puis déplie la réponse

Les litres sont aussi multipliés par 3 : $3 \times 3 = 9$ . C'est la logique de la proportionnalité — tout se multiplie par le même facteur. Cette façon de raisonner s'appelle la règle de trois.

La règle de trois

Si $a$ correspond à $b$ et qu'on cherche ce qui correspond à $c$ , on calcule : $x = \dfrac{b \times c}{a}.$

Voir la démonstration

Pourquoi ? Parce que le coefficient est $k = \dfrac{b}{a}$ . Pour trouver ce qui correspond à $c$ , on multiplie par $k$ : $x = c \times k = c \times \dfrac{b}{a} = \dfrac{b \times c}{a}$ . La formule ne tombe pas du ciel : c'est juste « multiplier par le coefficient ».

Exemple résolu — Règle de trois — recette de cuisine

Pour 4 personnes, il faut 300 g de chocolat. Combien faut-il pour 7 personnes ?

1Je connais : 4 personnes $\to$ 300 g.
2Je cherche : 7 personnes $\to$ $x$ g.
3Règle de trois : $x = \dfrac{300 \times 7}{4} = \dfrac{2100}{4} = 525$ g.
4Réponse : il faut 525 g de chocolat pour 7 personnes.

Représentation graphique d'une proportionnalité

La représentation graphique d'une proportionnalité est toujours une droite qui passe par l'origine (le point (0 ; 0)).

Représentation graphique

Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si leur représentation graphique est une droite passant par l'origine (le point de coordonnées $(0\,;\,0)$ ).

Voir la démonstration

Pourquoi par l'origine ? Parce que si $x = 0$ alors $y = k \times 0 = 0$ . Zéro stylo coûte 0 € — logique ! Si la droite ne passe pas par l'origine, les deux grandeurs ne sont pas proportionnelles.

Attention aux situations qui ne sont pas proportionnelles ! Un taxi coûte 5 € de prise en charge, puis 2 € par kilomètre. Pour 1 km : 7 €, pour 2 km : 9 €, pour 3 km : 11 €. Est-ce proportionnel ? $9 \div 2 = 4{,}5$ mais $7 \div 1 = 7$ : le coefficient change ! Ce n'est pas proportionnel — à cause du forfait fixe de 5 €. Toujours vérifier que le coefficient est constant.

Situation	Proportionnel ?	Pourquoi
Prix de stylos à 2 €/unité	Oui	$k = 2$ constant
Température en °C et en °F	Non	Il y a une constante +32 en plus
Distance et durée à vitesse constante	Oui	$k =$ vitesse
Prix taxi (5 € + 2 €/km)	Non	Le forfait fixe casse la proportionnalité
Masse et volume d'un même liquide	Oui	$k =$ densité

La présence d'un terme fixe (non nul) empêche la proportionnalité.

Dans un tableau, une personne vérifie la proportionnalité en calculant $\dfrac{6}{3} = 2$ et $\dfrac{10}{5} = 2$ . Une autre vérifie en calculant $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ . Est-ce que les deux ont raison ? Pourquoi ?

Indice : La première divise chaque valeur de ligne 2 par la valeur de ligne 1. La seconde compare les rapports entre colonnes.

Réfléchis… puis déplie la réponse

Oui, les deux ont raison ! Si $\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = k$ , alors en particulier $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{a_1}{a_2}$ . C'est la même idée vue sous deux angles. En pratique, on utilise celle qui donne les calculs les plus simples.

Comment reconnaître une situation proportionnelle

1Test 1 — Le coefficient : divise chaque valeur de la 2e ligne par la valeur correspondante de la 1re ligne. Si tu obtiens toujours le même nombre, c'est proportionnel.
2Test 2 — Le graphique : trace les points. S'ils sont alignés sur une droite passant par l'origine, c'est proportionnel.
3Test 3 — La situation : pose-toi la question « si je double une grandeur, l'autre double-t-elle exactement ? » — un forfait fixe, un abonnement, un terme constant : méfie-toi !

Exemple résolu — Vérifier si un tableau est proportionnel

Voici un tableau. Nombre de personnes : 2, 4, 6. Montant en € : 14, 28, 42. Est-il proportionnel ?

1Je calcule les coefficients : $14 \div 2 = 7$ , $28 \div 4 = 7$ , $42 \div 6 = 7$ .
2Le coefficient est constant ( $k = 7$ ) : le tableau est bien proportionnel.
3Interprétation : chaque personne paie 7 €.
4Contre-exemple : si la 3e valeur avait été 43 au lieu de 42, $43 \div 6 \approx 7{,}17 \neq 7$ — ce ne serait pas proportionnel !

À retenir

Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre $k$ , appelé coefficient de proportionnalité.
Pour trouver $k$ : $k = \dfrac{\text{valeur ligne 2}}{\text{valeur ligne 1}}$ — et $k$ doit être identique dans toutes les colonnes.
Règle de trois : si $a \to b$ et on cherche ce qui correspond à $c$ , alors $x = \dfrac{b \times c}{a}.$
La représentation graphique d'une proportionnalité est une droite passant par l'origine $(0\,;\,0)$ .
Un terme fixe (abonnement, forfait, constante non nulle) casse la proportionnalité — toujours vérifier !
En résumé : $y = k \times x$ avec $k$ constant $\Longleftrightarrow$ proportionnalité.

À toi de jouer

Pas de réponse à recopier : ici, on s’entraîne à raisonner. Bloqué ? Demande un indice avant la solution.

Exercice 1/10 · difficulté ●○○○○

Un stylo coûte 2 €. Quel est le prix de 5 stylos ?