Mathématiques · 6e · Symétrie axiale

La symétrie axiale

Un papillon, un flocon de neige, un visage humain : la symétrie est partout autour de nous. Apprends à la reconnaître, à la construire et à t'en servir pour résoudre des problèmes de géométrie.

40 min Cycle 3 — 6e · Espace et géométrie · « Reconnaître, nommer, décrire et reproduire des figures symétriques » — B.O. spécial n° 11 du 26 novembre 2015

On va comprendre, pas réciter. Prêt ?

À la fin, tu sauras

Tu sauras reconnaître si une figure possède un axe de symétrie
Tu sauras construire le symétrique d'un point par rapport à une droite
Tu sauras construire le symétrique d'une figure (segment, triangle, polygone) par rapport à un axe
Tu sauras utiliser les propriétés de conservation de la symétrie axiale (distances, angles, alignement)
Tu sauras déterminer l'axe de symétrie d'une figure donnée

Prérequis : Utiliser une règle graduée et un compas · Reconnaître et tracer des droites perpendiculaires · Manipuler les notions de distance et de milieu d'un segment

Plie une feuille en deux, découpe une forme, puis déplie : les deux moitiés se superposent exactement. Tu viens de créer une figure symétrique ! Des papillons aux lettres de l'alphabet, des logos aux carreaux de salle de bain, la symétrie est l'une des plus vieilles « astuces » de la nature — et des mathématiques.

La feuille pliée

Imagine que tu plies une feuille le long d'une droite rouge. Chaque point de la feuille se retrouve « de l'autre côté ». La droite rouge, c'est le pli : on l'appelle l'axe de symétrie. Les deux moitiés se superposent parfaitement : elles sont symétriques l'une de l'autre par rapport à cet axe.

Regarde la lettre A. Si tu plies une feuille sur laquelle elle est écrite le long d'une droite verticale passant par son milieu, les deux moitiés se superposent-elles exactement ? Et la lettre S ?

Indice : Essaie de visualiser ou trace les lettres puis plie la feuille.

Réfléchis… puis déplie la réponse

Oui pour la lettre A : la droite verticale est un axe de symétrie — les deux « jambes » se superposent. Non pour la lettre S : quelle que soit la droite, les deux parties ne se superposent jamais exactement. La symétrie n'est pas automatique — il faut la vérifier !

Axe de symétrie d'une figure

Une droite $d$ est un axe de symétrie d'une figure si, en pliant la feuille le long de $d$ , la figure se superpose exactement à elle-même. Les deux parties « se reflètent » comme dans un miroir — $d$ joue le rôle du miroir.

Un axe de symétrie : le papillon

La droite orange (pointillée) est l'axe de symétrie. Les deux points bleus sont à égale distance de cet axe, de chaque côté.

Les deux points bleus du schéma ci-dessus sont symétriques par rapport à l'axe. Que remarques-tu sur la droite qui les relie et sur leurs distances à l'axe ?

Indice : Mesure (sur le dessin) la distance de chaque point bleu à l'axe orange.

Réfléchis… puis déplie la réponse

La droite qui relie les deux points est perpendiculaire à l'axe, et chaque point est à la même distance de l'axe. C'est exactement la définition du symétrique d'un point — et cela va nous permettre de construire n'importe quel symétrique.

Symétrique d'un point

Le symétrique du point $A$ par rapport à la droite $d$ est le point $A'$ tel que : - la droite $(AA')$ est perpendiculaire à $d$ , - le point $I$ (intersection de $(AA')$ avec $d$ ) est le milieu de $[AA']$ . Autrement dit : $d$ est la médiatrice du segment $[AA']$ .

Construire le symétrique d'un point à la règle et au compas

1Étape 1 — La perpendiculaire. Trace à la règle la droite passant par $A$ et perpendiculaire à l'axe $d$ . Elle coupe $d$ en un point $I$ .
2Étape 2 — Le milieu. Reporte la distance $AI$ de l'autre côté de $d$ : le point $A'$ vérifie $IA' = IA$ . Avec le compas : ouvre-le à une longueur supérieure à $AI$ , pointe en $A$ , trace deux petits arcs de part et d'autre de $d$ , puis fais la même chose depuis $I$ — les arcs se croisent exactement en $A'$ .
3Étape 3 — Vérification. Mesure $AI$ et $IA'$ : ils doivent être égaux. Vérifie aussi que $(AA')$ est bien perpendiculaire à $d$ .

Construction du symétrique d'un point

Le petit carré indique un angle droit. Les doubles tirets montrent les égalités de longueur :

IA = IA'

. L'axe

d

est la médiatrice de

[AA']

Propriétés de conservation de la symétrie axiale

La symétrie axiale conserve : - les distances : si $A'$ est le symétrique de $A$ et $B'$ celui de $B$ , alors $A'B' = AB$ ; - les angles ; - l'alignement : si $A$ , $B$ , $C$ sont alignés, leurs symétriques $A'$ , $B'$ , $C'$ le sont aussi. En conséquence, le symétrique d'un segment est un segment de même longueur, et le symétrique d'un triangle est un triangle de même forme et même taille.

Voir la démonstration

Pourquoi les distances sont-elles conservées ? Imagine que tu plies la feuille le long de l'axe : les points $A$ et $B$ viennent se superposer à $A'$ et $B'$ . Le segment $[AB]$ se superpose alors exactement à $[A'B']$ . Puisque le papier ne s'étire pas, les deux segments ont la même longueur. C'est l'argument du pli : la symétrie axiale est comme un pliage — elle ne déforme rien, elle retourne simplement.

Exemple résolu — Construire le symétrique d'un segment

1On veut le symétrique du segment $[AB]$ par rapport à l'axe $d$ .
2On construit séparément le symétrique $A'$ de $A$ (perpendiculaire depuis $A$ sur $d$ , puis on reporte la distance de l'autre côté).
3On construit de même le symétrique $B'$ de $B$ .
4Le symétrique de $[AB]$ est alors le segment $[A'B']$ .
5Vérification : on mesure $AB$ et $A'B'$ — les longueurs sont égales (propriété de conservation).

Reconnaître un axe de symétrie d'une figure

1Méthode du pli (pratique) : découpe ou calque la figure, puis essaie de la plier. Si les deux parties se superposent exactement, la droite de pli est un axe.
2Méthode du compas (précise) : choisis un point $M$ de la figure, construis son symétrique $M'$ par rapport à la droite candidate. Si $M'$ appartient aussi à la figure, recommence avec d'autres points. Si ça marche pour tous les points, c'est bien un axe.
3Astuce rapide : pour les polygones réguliers, les axes passent soit par le milieu de deux côtés opposés, soit par deux sommets opposés.

Combien d'axes pour un carré ?

Un carré a 4 axes de symétrie : 2 axes passant par les milieux des côtés opposés, et 2 diagonales. Un rectangle (non carré) n'en a que 2. Un triangle équilatéral en a 3. Un cercle en a une infinité (toute droite passant par le centre). La symétrie révèle la régularité de la figure — plus elle est régulière, plus elle a d'axes.

Piège n° 1 : croire qu'une droite qui « coupe la figure en deux parties égales » est forcément un axe. Non ! Elle doit couper en deux parties qui se superposent exactement. La diagonale d'un rectangle (non carré) partage le rectangle en deux triangles de même aire, mais ces triangles ne se superposent pas — la diagonale n'est pas un axe de symétrie du rectangle. Piège n° 2 : oublier que le symétrique d'un point sur l'axe est lui-même. Si $A$ est sur $d$ , alors $A' = A$ .

Figure	Nombre d'axes	Description des axes
Triangle équilatéral	3	Chaque axe passe par un sommet et le milieu du côté opposé
Triangle isocèle (non équilatéral)	1	L'axe passe par le sommet « particulier » et le milieu de la base
Triangle scalène (3 côtés différents)	0	Aucun axe
Carré	4	2 axes par milieux des côtés + 2 diagonales
Rectangle (non carré)	2	2 axes passant par les milieux des côtés
Losange	2	Les 2 diagonales
Cercle	Infinité	Toute droite passant par le centre

La présence d'axes de symétrie révèle la régularité d'une figure.

Exemple résolu — Exercice résolu : symétrique d'un triangle dans un repère

1On donne le triangle $ABC$ avec $A(1\,;\,3)$ , $B(4\,;\,1)$ , $C(3\,;\,5)$ et l'axe $d$ : la droite d'équation $x = 3$ .
2**Symétrique de $A(1\,;\,3)$ :** l'axe est vertical, donc la perpendiculaire est horizontale (ordonnée $y = 3$ constante). Elle coupe $d$ en $I_A(3\,;\,3)$ . Distance $: 3 - 1 = 2$ . On reporte : $x_{A'} = 3 + 2 = 5$ . Donc $A' = (5\,;\,3)$ .
3**Symétrique de $B(4\,;\,1)$ :** perpendiculaire $y = 1$ , coupe $d$ en $I_B(3\,;\,1)$ . Distance $: 4 - 3 = 1$ . On reporte : $x_{B'} = 3 - 1 = 2$ . Donc $B' = (2\,;\,1)$ .
4**Symétrique de $C(3\,;\,5)$ :** $C$ est sur l'axe ( $x = 3$ ), donc $C' = C = (3\,;\,5)$ .
5Le triangle symétrique est $A'B'C'$ avec $A'(5\,;\,3)$ , $B'(2\,;\,1)$ , $C'(3\,;\,5)$ .
6Vérification : $AB = \sqrt{(4-1)^2+(1-3)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$ et $A'B' = \sqrt{(2-5)^2+(1-3)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$ . Les longueurs sont bien égales. ✔

À retenir

La symétrie axiale, c'est le pliage : deux figures symétriques se superposent exactement quand on plie le long de l'axe $d$ .
Le symétrique de $A$ par rapport à $d$ est le point $A'$ tel que $d$ est la médiatrice de $[AA']$ : $(AA') \perp d$ et le milieu de $[AA']$ est sur $d$ .
La symétrie axiale conserve les distances, les angles et l'alignement : les figures symétriques ont la même forme et la même taille.
Pour construire un symétrique de figure : on construit le symétrique de chaque sommet, puis on relie dans le même ordre.
Un point sur l'axe est son propre symétrique ( $A' = A$ ).
Couper une figure en deux parties égales ne suffit pas pour avoir un axe : il faut que les deux parties se superposent exactement.

À toi de jouer

Pas de réponse à recopier : ici, on s’entraîne à raisonner. Bloqué ? Demande un indice avant la solution.

Exercice 1/10 · difficulté ●○○○○

Parmi les figures suivantes, laquelle possède un axe de symétrie ?