Ensembles de nombres — appartenance et intervalles

Deux exercices type : reconnaître à quels ensembles appartient un nombre, puis manipuler les intervalles.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Appartenance

Les ensembles s'emboîtent :

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

. Un nombre est rationnel (

\mathbb{Q}

) s'il s'écrit comme quotient de deux entiers.

Le nombre $-\dfrac{7}{2}$ appartient-il à $\mathbb{Z}$ ? à $\mathbb{Q}$ ?
Le nombre $\sqrt{9}$ appartient-il à $\mathbb{N}$ ?

Voir la correction

1. $-\dfrac72=-3{,}5$ n'est pas entier : $\notin\mathbb{Z}$ . Mais c'est un quotient d'entiers : $\in\mathbb{Q}$ .

2. Piège classique : on calcule d'abord. $\sqrt9=3$ , qui est un entier naturel : donc $\sqrt9\in\mathbb{N}$ .

Le réflexe à retenir

Pour classer un nombre, calcule/simplifie d'abord (une racine ou une fraction peut « tomber juste »). Rationnel = quotient d'entiers ; les emboîtements donnent l'appartenance aux ensembles plus grands.

Exercice 2 — Intervalles

Crochet fermé

[\,]

: borne incluse ; ouvert

]\,[

: exclue. L'intersection

\cap

garde ce qui est commun aux deux.

Traduire par un intervalle : « $x\geq-2$ et $x<3$ ».
Déterminer $[-1\,;4]\cap]2\,;6[$ .

Voir la correction

1. $x\geq-2$ (inclus) et $x<3$ (exclu) : $x\in[-2\,;3[$ .

2. On garde les nombres dans les deux intervalles : il faut $x>2$ (le plus contraignant à gauche) et $x\leq4$ (le plus contraignant à droite), soit $]2\,;4]$ .

Le réflexe à retenir

Crochet vers le nombre = inclus ( $\leq,\geq$ ), crochet retourné = exclu ( $<,>$ ). Pour une intersection, on prend la borne la plus contraignante de chaque côté.