Équations et inéquations — produit nul et signe

Deux exercices type : résoudre une équation-produit, puis résoudre une inéquation avec un tableau de signes.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Équation-produit

Règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. C'est ce qui permet de casser une équation en équations simples.

Résoudre $(x-2)(x+5)=0$ .
Résoudre $x^2-9=0$ .

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1. Le produit est nul ⇔ un facteur est nul : $x-2=0$ ou $x+5=0$ , soit $x=2$ ou $x=-5$ .

2. L'expression n'est pas un produit… mais on peut la factoriser avec l'identité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ : $x^2-9=(x-3)(x+3)$ . Alors $x^2-9=0\iff x=3$ ou $x=-3$ .

Le réflexe à retenir

Une équation-produit se résout facteur par facteur (règle du produit nul). Si ce n'est pas encore un produit, on factorise d'abord (facteur commun ou identité remarquable).

Exercice 2 — Inéquation et tableau de signes

Pour une inéquation, on se ramène à comparer une expression **à

0

, puis on lit son signe dans un tableau de signes**.

Résoudre $(x-1)(x+4)\geq 0$ .

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1. Les facteurs s'annulent en $1$ et $-4$ . Dans un tableau de signes, chaque facteur change de signe à sa racine, et on multiplie les signes ligne par ligne. Le produit est positif à l'extérieur des racines : l'ensemble des solutions est $]-\infty;-4]\cup[1;+\infty[$ (bornes incluses car l'inégalité est large).

Le réflexe à retenir

Une inéquation-produit se résout par tableau de signes : on repère les racines de chaque facteur, on multiplie les signes, on lit l'intervalle. Attention aux bornes : incluses si $\geq/\leq$ , exclues si $>/<$ .