Fonctions de référence — carré et inverse

Deux exercices type : exploiter la fonction carré, puis la fonction inverse.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Fonction carré

La fonction carré est positive, paire, décroissante puis croissante. On peut comparer des carrés en comparant les valeurs absolues.

Comparer $(-4)^2$ et $3^2$ en utilisant les variations.
Résoudre $x^2=25$ .

Voir la correction

1. $(-4)^2=16$ et $3^2=9$ : comme $|-4|=4>3$ et que le carré croît avec la valeur absolue, $(-4)^2>3^2$ .

2. $x^2=25\iff x=5$ ou $x=-5$ (ne pas oublier la solution négative).

Le réflexe à retenir

Fonction carré : positive et paire. Une équation $x^2=k$ (avec $k>0$ ) a deux solutions $\pm\sqrt k$ . On oublie souvent la négative.

Exercice 2 — Fonction inverse

La fonction inverse

x\mapsto\tfrac1x

est définie sur

\mathbb{R}^*

et décroissante sur

]-\infty;0[

et sur

]0;+\infty[

(elle inverse l'ordre).

Résoudre $\dfrac1x=4$ .
Ranger dans l'ordre croissant $\dfrac12$ , $\dfrac15$ et $\dfrac{1}{3}$ .

Voir la correction

1. $\dfrac1x=4\iff x=\dfrac14$ .

2. Sur $]0;+\infty[$ , l'inverse est décroissant : plus le nombre est grand, plus son inverse est petit. Comme $2<3<5$ , on a $\dfrac15<\dfrac13<\dfrac12$ .

Le réflexe à retenir

La fonction inverse renverse l'ordre (sur chaque intervalle) : $a<b\Rightarrow\tfrac1a>\tfrac1b$ (mêmes signes). D'où : plus grand nombre → plus petit inverse.