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Exercices / 2nde / Vecteurs

Mathématiques · 2nde · Vecteurs

Vecteurs — coordonnées, milieu, colinéarité

Deux exercices type : calculer les coordonnées d'un vecteur et d'un milieu, puis tester la colinéarité.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Coordonnées et milieu

AB⃗\vec{AB} se calcule en faisant arrivée moins départ : (xB−xA ;yB−yA)(x_B-x_A\,;y_B-y_A). Le milieu II est la moyenne des coordonnées. On donne A(1 ;2)A(1\,;2), B(5 ;−4)B(5\,;-4).
  1. Calculer les coordonnées de AB⃗\vec{AB}.
  2. Calculer les coordonnées du milieu II de [AB][AB].
Voir la correction

1. AB⃗=(xB−xA ;yB−yA)=(5−1 ;−4−2)=(4 ;−6)\vec{AB}=(x_B-x_A\,;y_B-y_A)=(5-1\,;-4-2)=(4\,;-6).

2. I(xA+xB2 ;yA+yB2)=(1+52 ;2−42)=(3 ;−1)I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\dfrac{1+5}{2}\,;\dfrac{2-4}{2}\right)=(3\,;-1).

Le réflexe à retenir

AB⃗\vec{AB} = arrivée − départ (attention au sens !). Milieu = moyenne des coordonnées des deux extrémités.

Exercice 2 — Colinéarité

u⃗(x ;y)\vec u(x\,;y) et v⃗(x′ ;y′)\vec v(x'\,;y') sont colinéaires ssi xy′−yx′=0xy'-yx'=0 (leur déterminant est nul) — c'est le test du parallélisme / alignement.
  1. Les vecteurs u⃗(2 ;3)\vec u(2\,;3) et v⃗(4 ;6)\vec v(4\,;6) sont-ils colinéaires ?
Voir la correction

1. On calcule le déterminant : xy′−yx′=2×6−3×4=12−12=0xy'-yx'=2\times6-3\times4=12-12=0. Nul → vecteurs colinéaires (ici v⃗=2u⃗\vec v=2\vec u).

Le réflexe à retenir

Test de colinéarité : xy′−yx′=0xy'-yx'=0. Colinéaire ⇔ même direction ⇔ droites parallèles ou points alignés.