Arithmétique — diviseurs, PGCD, fractions irréductibles

Deux exercices type : déterminer un PGCD, puis rendre une fraction irréductible.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — PGCD

Le PGCD (plus grand diviseur commun) se calcule par l'algorithme d'Euclide : on divise, on remplace, jusqu'à un reste nul.

Calculer le PGCD de $60$ et $48$ .

Voir la correction

1. Euclide : $60=1\times48+12$ , puis $48=4\times12+0$ . Le dernier reste non nul est $12$ : $\text{PGCD}(60\,;48)=12$ .

Le réflexe à retenir

Algorithme d'Euclide : diviser, garder le reste, recommencer ; le dernier reste non nul est le PGCD. C'est plus sûr que lister tous les diviseurs.

Exercice 2 — Fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont plus de diviseur commun (autre que

1

). On simplifie par le PGCD.

Rendre irréductible la fraction $\dfrac{60}{48}$ .

Voir la correction

1. Le PGCD de $60$ et $48$ est $12$ (exercice précédent). On divise haut et bas par $12$ : $\dfrac{60}{48}=\dfrac{5}{4}$ .

Le réflexe à retenir

Pour rendre une fraction irréductible en une étape, divise numérateur et dénominateur par leur PGCD.