Théorème de Thalès — calcul de longueur

Deux exercices type : appliquer le théorème de Thalès pour calculer une longueur, puis utiliser sa réciproque.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Calculer une longueur

Avec

(BC)\parallel(DE)

(points

A,B,D

A,C,E

alignés), Thalès donne l'égalité des rapports :

\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{BC}{DE}

On a $AB=3$ , $AD=6$ , $AC=4$ et $(BC)\parallel(DE)$ . Calculer $AE$ .

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1. On écrit le rapport qui relie les données à l'inconnue : $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$ , soit $\dfrac{3}{6}=\dfrac{4}{AE}$ . Produit en croix : $AE=\dfrac{4\times6}{3}=8$ .

Le réflexe à retenir

Thalès : écris l'égalité des rapports, garde les deux qui contiennent l'inconnue, puis produit en croix. Vérifie d'abord le parallélisme et l'alignement.

Exercice 2 — Réciproque de Thalès

La réciproque sert à prouver un parallélisme : si

\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}

(points dans le même ordre), alors

(BC)\parallel(DE)

$AB=2$ , $AD=5$ , $AC=3$ , $AE=7{,}5$ . Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?

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1. On compare les deux rapports : $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{2}{5}=0{,}4$ et $\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{3}{7{,}5}=0{,}4$ . Ils sont égaux (et les points dans le même ordre) : d'après la réciproque, $(BC)\parallel(DE)$ .

Le réflexe à retenir

Théorème direct → calculer une longueur (on sait que c'est parallèle). Réciproque → prouver un parallélisme (on compare deux rapports).