Symétrie centrale — propriétés et image

Deux exercices type : reconnaître les propriétés de la symétrie centrale, puis déterminer l'image d'un point.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Propriétés

La symétrie centrale de centre

O

associe à

M

le point

M'

tel que

O

soit le milieu de

[MM']

(un « demi-tour »). Elle conserve longueurs, angles et aires.

Par une symétrie centrale, un segment de $6$ cm a pour image un segment. Quelle est sa longueur ?

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1. La symétrie centrale conserve les longueurs : l'image mesure aussi $6$ cm.

Le réflexe à retenir

Symétrie centrale = demi-tour autour de $O$ ( $O$ milieu de $[MM']$ ). Elle conserve longueurs, angles, aires (figure retournée mais identique).

Exercice 2 — Image d'un point

Le symétrique de

M

par rapport à

O

est le point

M'

tel que

O

soit le milieu de

[MM']

Quel est le symétrique de $M(2\,;3)$ par rapport à l'origine $O(0\,;0)$ ?

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1. $O$ doit être le milieu de $[MM']$ : à partir de $M(2\,;3)$ , on prend les coordonnées opposées, soit $M'(-2\,;-3)$ .

Le réflexe à retenir

Symétrique par rapport à l'origine = coordonnées opposées ( $(x\,;y)\to(-x\,;-y)$ ). Plus généralement, $O$ est le milieu de $[MM']$ .