Mathématiques · 1re · Dérivation

Dérivation — nombre dérivé, tangente, variations

Deux exercices type : calculer un nombre dérivé et une équation de tangente, puis étudier les variations d'une fonction à l'aide du signe de sa dérivée.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Nombre dérivé et tangente

Le nombre dérivé

f'(a)

est la pente de la courbe au point d'abscisse

a

: c'est le coefficient directeur de la tangente, d'équation

y=f'(a)(x-a)+f(a)

. On étudie

f(x)=x^2-3x+1

Calculer $f'(x)$ .
Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse $2$ .
La tangente $T$ est-elle croissante ou décroissante ?

Voir la correction

1. On dérive terme à terme : $f'(x)=2x-3$ .

2. La tangente demande deux ingrédients : $f(2)=4-6+1=-1$ (où l'on touche la courbe) et $f'(2)=2\times2-3=1$ (la pente). D'où $T:\ y=f'(2)(x-2)+f(2)=1\times(x-2)+(-1)=x-3$ .

3. Le sens d'une droite se lit sur son coefficient directeur : ici $f'(2)=1>0$ , donc $T$ est croissante.

Le réflexe à retenir

Tangente en $a$ : calcule ** $f(a)$ et $f'(a)$ **, puis applique $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ . La pente $f'(a)$ donne aussi le sens (croissante si $>0$ ).

Exercice 2 — Dérivée et variations

Le **signe de

f'

** commande le sens de variation :

f

croît où

f'\geq0

, décroît où

f'\leq0

, et un extremum apparaît là où

f'

change de signe. On étudie

g(x)=x^3-3x

Calculer $g'(x)$ et l'exprimer sous forme factorisée.
Étudier le signe de $g'(x)$ et dresser le tableau de variations de $g$ .
En déduire les extremums locaux de $g$ .

Voir la correction

1. $g'(x)=3x^2-3$ . On factorise pour lire le signe : $g'(x)=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$ .

2. C'est un trinôme de racines $-1$ et $1$ , positif à l'extérieur des racines. Donc $g$ croît sur $]-\infty;-1]$ , décroît sur $[-1;1]$ , croît sur $[1;+\infty[$ .

3. En $x=-1$ , $g'$ passe de $+$ à $-$ : maximum local $g(-1)=-1+3=2$ . En $x=1$ , $g'$ passe de $-$ à $+$ : minimum local $g(1)=1-3=-2$ .

Le réflexe à retenir

Factorise toujours $g'$ pour lire son signe. Un maximum est là où $g'$ passe de $+$ à $-$ ; un minimum, de $-$ à $+$ . On calcule ensuite l'ordonnée de l'extremum.