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Exercices / 1re / Dérivation

Mathématiques · 1re · Dérivation

Dérivation — dérivée et tangente (techno)

Deux exercices type : calculer une dérivée et une tangente, puis relier signe de la dérivée et variations.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Dérivée et tangente

La tangente en aa a pour équation y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a) : sa pente est le nombre dérivé f′(a)f'(a). On étudie f(x)=x2+2x−3f(x)=x^2+2x-3.
  1. Calculer f′(x)f'(x).
  2. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 00.
Voir la correction

1. f′(x)=2x+2f'(x)=2x+2.

2. Deux ingrédients : f(0)=−3f(0)=-3 et f′(0)=2f'(0)=2. D'où y=2(x−0)+(−3)=2x−3y=2(x-0)+(-3)=2x-3.

Le réflexe à retenir

Tangente : calcule f(a)f(a) (le point) et f′(a)f'(a) (la pente), puis y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a).

Exercice 2 — Variations

Le **signe de f′f'** donne le sens de variation. On garde g(x)=x2+2x−3g(x)=x^2+2x-3.
  1. Étudier le signe de g′(x)g'(x).
  2. En déduire le tableau de variations et le minimum de gg.
Voir la correction

1. g′(x)=2x+2=2(x+1)g'(x)=2x+2=2(x+1), négatif pour x<−1x<-1, positif pour x>−1x>-1.

2. gg décroît sur ]−∞;−1]]-\infty;-1], croît sur [−1;+∞[[-1;+\infty[ : minimum en x=−1x=-1, g(−1)=1−2−3=−4g(-1)=1-2-3=-4.

Le réflexe à retenir

g′<0g'<0 → décroît, g′>0g'>0 → croît. Le minimum est là où g′g' passe de −- à ++. On factorise g′g' pour lire le signe.