Exponentielle — propriétés, équations, variations

Deux exercices type : utiliser les propriétés algébriques de l'exponentielle pour simplifier et résoudre, puis dériver et étudier une fonction avec exp.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Propriétés et équations

Tout se joue sur les exposants :

e^a\times e^b=e^{a+b}

(e^a)^n=e^{na}

\dfrac1{e^a}=e^{-a}

. Et l'exponentielle étant strictement croissante,

e^A=e^B\iff A=B

Simplifier $A=(e^x)^2\times e^{-x}$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{3x}=e^{6}$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{x^2}=e^{2x}$ .

Voir la correction

1. On regroupe les exposants : $A=(e^x)^2\times e^{-x}=e^{2x}\times e^{-x}=e^{2x-x}=e^{x}$ .

2. Deux exponentielles égales ont des exposants égaux : $e^{3x}=e^{6}\iff 3x=6\iff x=2$ .

3. Même principe, on identifie les exposants : $e^{x^2}=e^{2x}\iff x^2=2x$ . On ramène tout d'un côté et on factorise : $x^2-2x=0\iff x(x-2)=0$ , donc $x=0$ ou $x=2$ .

Le réflexe à retenir

Manipuler exp = manipuler les exposants. Pour une équation, $e^A=e^B\iff A=B$ ; on se ramène ensuite à une équation classique (ici du second degré) qu'on résout par factorisation.

Exercice 2 — Dériver et étudier avec exp

On rappelle

(e^u)'=u'e^u

. Fait décisif :

e^{\square}>0

toujours, donc ce facteur ne change jamais le signe de la dérivée. On étudie

f(x)=e^{x}-x

Dériver $g(x)=e^{2x+1}$ .
Calculer $f'(x)$ pour $f(x)=e^x-x$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$ .

Voir la correction

1. Avec $u=2x+1$ ( $u'=2$ ) : $g'(x)=2\,e^{2x+1}$ .

2. $f'(x)=e^x-1$ .

3. On étudie le signe : $e^x-1\geq0\iff e^x\geq1\iff x\geq0$ (l'exponentielle vaut $1$ en $0$ et croît). Donc $f$ décroît sur $]-\infty;0]$ , croît sur $[0;+\infty[$ , avec un minimum $f(0)=e^0-0=1$ .

Le réflexe à retenir

$(e^u)'=u'e^u$ . Comme $e^{\square}>0$ , le signe de la dérivée ne dépend que du reste. Pour $e^x-1$ , retiens le repère : $e^x\geq1\iff x\geq0$ .