Exponentielle — fonction $q^n$ et croissance (techno)

Deux exercices type : puissances et croissance exponentielle, puis pourcentage d'évolution associé.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Puissances et croissance

Une croissance qui double régulièrement est exponentielle :

N(t)=N_0\times2^t

. Ici

N(t)=500\times2^{t}

(

t

en heures).

Calculer $N(3)$ .
Au bout de combien d'heures la population dépasse-t-elle $8000$ ?

Voir la correction

1. $N(3)=500\times2^{3}=500\times8=4000$ bactéries.

2. On résout $500\times2^t>8000$ , soit $2^t>16$ . Or $16=2^4$ , donc $2^t>2^4\iff t>4$ : la population dépasse $8000$ **au bout de $4$ heures**.

Le réflexe à retenir

Une croissance qui multiplie par un facteur fixe à chaque pas est exponentielle ( $N_0\times q^t$ ). Pour un seuil, compare des puissances de même base ( $2^t>2^4\iff t>4$ ).

Exercice 2 — Taux d'évolution

Une évolution de

+t\%

correspond au coefficient multiplicateur

1+\tfrac{t}{100}

; des évolutions successives se multiplient.

Un prix augmente de $4\%$ par an. Par quel nombre est-il multiplié après $2$ ans ? Donner le pourcentage global (arrondi à $0{,}1\%$ ).

Voir la correction

1. Deux hausses de $4\%$ : on multiplie les coefficients, $1{,}04\times1{,}04=1{,}04^2=1{,}0816$ . Cela correspond à une hausse globale de $8{,}16\%\approx8{,}2\%$ (et non $8\%$ : les évolutions ne s'additionnent pas).

Le réflexe à retenir

Évolutions successives → on multiplie les coefficients (jamais additionner les pourcentages). $+t\%$ ⇔ $\times(1+\tfrac t{100})$ .