Mathématiques · 1re · Fonctions

Fonctions — image, antécédent, second degré (techno)

Deux exercices type : lire images et antécédents, puis étudier une fonction polynôme du second degré.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Image et antécédent

L'image de

a

est

f(a)

(on calcule) ; un antécédent de

b

est un

x

tel que

f(x)=b

(on résout une équation). On considère

f(x)=2x-3

Calculer l'image de $4$ par $f$ .
Déterminer l'antécédent de $5$ par $f$ .

Voir la correction

1. Image = on remplace : $f(4)=2\times4-3=5$ .

2. Antécédent = on résout $f(x)=5$ : $2x-3=5$ , donc $x=4$ .

Le réflexe à retenir

Image : on connaît $x$ , on calcule $f(x)$ . Antécédent : on connaît $f(x)$ , on résout pour trouver $x$ . Ce sont deux sens opposés à ne pas confondre.

Exercice 2 — Fonction du second degré

Pour un trinôme, le discriminant

\Delta=b^2-4ac

donne les racines, et le sommet a pour abscisse

\alpha=\tfrac{-b}{2a}

. On étudie

g(x)=x^2-4x+3

Résoudre $g(x)=0$ .
Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole.

Voir la correction

1. $\Delta=(-4)^2-4\times1\times3=16-12=4$ , $\sqrt\Delta=2$ . Racines : $x=\dfrac{4\pm2}{2}$ , soit $x=1$ ou $x=3$ .

2. Abscisse du sommet : $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2$ ; ordonnée : $g(2)=4-8+3=-1$ . Sommet $(2\,;-1)$ .

Le réflexe à retenir

Trinôme : racines par le discriminant, sommet en $\alpha=\tfrac{-b}{2a}$ (puis on calcule $g(\alpha)$ ). Le sommet est le minimum si $a>0$ , le maximum si $a<0$ .