Géométrie repérée — droites, colinéarité, cercle

Deux exercices type : déterminer l'équation d'une droite et tester un alignement par la colinéarité, puis reconnaître l'équation d'un cercle.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Équation de droite et alignement

Deux vecteurs

\vec u(x\,;y)

\vec v(x'\,;y')

sont colinéaires ssi

xy'-yx'=0

(leur « déterminant » est nul). Trois points sont alignés ssi deux vecteurs qu'ils forment le sont. On considère

A(1\,;1)

B(3\,;5)

C(0\,;-1)

Déterminer le coefficient directeur puis l'équation réduite de la droite $(AB)$ .
Les points $A$ , $B$ et $C$ sont-ils alignés ?

Voir la correction

1. Le coefficient directeur mesure la « pente » : $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{5-1}{3-1}=2$ . L'équation est $y=2x+p$ ; on trouve $p$ en imposant que $A(1\,;1)$ est sur la droite : $1=2\times1+p$ , donc $p=-1$ . D'où $(AB):\ y=2x-1$ .

2. On teste la colinéarité de $\vec{AB}=(2\,;4)$ et $\vec{AC}=(-1\,;-2)$ : le déterminant vaut $2\times(-2)-4\times(-1)=-4+4=0$ . Nul → vecteurs colinéaires → $A$ , $B$ , $C$ alignés (on vérifie d'ailleurs que $C(0\,;-1)$ satisfait $y=2x-1$ ).

Le réflexe à retenir

Coefficient directeur $=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ , puis on fixe l'ordonnée à l'origine avec un point. Pour un alignement, teste la colinéarité ( $xy'-yx'=0$ ) de deux vecteurs formés par les points.

Exercice 2 — Équation d'un cercle

Le cercle de centre

\Omega(a\,;b)

et de rayon

R

a pour équation

(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

. Reconnaître un cercle dans une équation développée = compléter les carrés.

Écrire l'équation du cercle de centre $\Omega(2\,;-1)$ et de rayon $3$ .
Montrer que $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ est l'équation d'un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Voir la correction

1. On applique la forme du cours : $(x-2)^2+(y-(-1))^2=3^2$ , soit $(x-2)^2+(y+1)^2=9$ .

2. On complète les carrés pour les $x$ et les $y$ séparément : $x^2-4x=(x-2)^2-4$ et $y^2+2y=(y+1)^2-1$ . L'équation devient $(x-2)^2-4+(y+1)^2-1-4=0$ , soit $(x-2)^2+(y+1)^2=9$ . On reconnaît le cercle de **centre $\Omega(2\,;-1)$ et de rayon $R=3$ **.

Le réflexe à retenir

Forme d'un cercle : $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ → centre $(a\,;b)$ , rayon $R$ . Pour retrouver cette forme depuis une équation développée, complète les carrés en $x$ puis en $y$ .