Probabilités conditionnelles — arbre et indépendance — Exercices 1re — Sigma Enseignement

Exercice 1 — Arbre pondéré et probabilités totales

Sur un arbre : on multiplie le long d'une branche, on additionne les branches menant au même résultat.

60\%

des élèves viennent en bus, les autres à vélo. Parmi les bus,

10\%

sont en retard ; parmi les vélos,

5\%

. On note

B

« bus » et

R

« en retard ».

Représenter la situation par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité qu'un élève vienne en bus et soit en retard.
Montrer que $P(R)=0{,}08$ .
Un élève est en retard. Quelle est la probabilité qu'il soit venu en bus ?

Voir la correction

1. Premier niveau : $P(B)=0{,}6$ , $P(\overline B)=0{,}4$ . Second niveau (conditionnel) : $P_B(R)=0{,}1$ ; $P_{\overline B}(R)=0{,}05$ .

2. On multiplie le long de la branche « bus puis retard » : $P(B\cap R)=P(B)\times P_B(R)=0{,}6\times0{,}1=0{,}06$ .

3. « Bus » et « vélo » forment une partition : par les probabilités totales, on additionne les deux chemins vers $R$ : $P(R)=0{,}06+0{,}4\times0{,}05=0{,}06+0{,}02=0{,}08$ .

4. On renverse le conditionnement : $P_R(B)=\dfrac{P(B\cap R)}{P(R)}=\dfrac{0{,}06}{0{,}08}=0{,}75$ .

Le réflexe à retenir

Arbre : × le long d'une branche, + entre branches (probabilités totales). Pour « sachant le résultat, quelle cause ? », renverse : $P_R(B)=\dfrac{P(B\cap R)}{P(R)}$ .

Exercice 2 — Indépendance de deux événements

Deux événements

A

B

sont indépendants ssi

P(A\cap B)=P(A)\times P(B)

: l'un ne renseigne pas sur l'autre. On donne

P(A)=0{,}5

P(B)=0{,}4

P(A\cap B)=0{,}2

Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
Calculer $P(A\cup B)$ .

Voir la correction

1. On teste l'égalité caractéristique : $P(A)\times P(B)=0{,}5\times0{,}4=0{,}2$ , et $P(A\cap B)=0{,}2$ . Les deux coïncident, donc $A$ et $B$ sont indépendants.

2. Formule de la réunion (on retire l'intersection comptée deux fois) : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}5+0{,}4-0{,}2=0{,}7$ .

Le réflexe à retenir

Indépendance = test $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ (à ne pas confondre avec « incompatibles », qui veut dire $P(A\cap B)=0$ ). Pour une réunion : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .