Produit scalaire dans le plan — calcul, orthogonalité, angle

Deux exercices type : calculer un produit scalaire par les coordonnées et tester l'orthogonalité, puis déterminer un angle.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Produit scalaire et orthogonalité

En repère orthonormé,

\vec u(x\,;y)\cdot\vec v(x'\,;y')=xx'+yy'

. Le test-clé : deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul. On considère

A(1\,;2)

B(4\,;3)

C(2\,;-1)

Déterminer les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .
Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ .
Que peut-on en déduire pour l'angle $\widehat{BAC}$ ?

Voir la correction

1. $\vec{AB}=(4-1\,;3-2)=(3\,;1)$ et $\vec{AC}=(2-1\,;-1-2)=(1\,;-3)$ .

2. On somme les produits des coordonnées : $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=3\times1+1\times(-3)=3-3=0$ .

3. Le produit scalaire est nul et les vecteurs sont non nuls : ils sont donc orthogonaux. L'angle $\widehat{BAC}$ est droit, et le triangle $ABC$ est **rectangle en $A$ **.

Le réflexe à retenir

$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ (repère orthonormé). Le produit scalaire nul est le test d'orthogonalité — c'est souvent ce qu'on cherche pour prouver qu'un triangle est rectangle.

Exercice 2 — Norme et angle

Le produit scalaire relie longueurs et angle :

\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)

. En calculant le produit scalaire et les normes, on isole

\cos\theta

. On prend

\vec u(2\,;3)

\vec v(-1\,;4)

Calculer $\vec u\cdot\vec v$ .
Calculer les normes $\|\vec u\|$ et $\|\vec v\|$ .
En déduire une valeur approchée, au degré près, de l'angle entre $\vec u$ et $\vec v$ .

Voir la correction

1. $\vec u\cdot\vec v=2\times(-1)+3\times4=-2+12=10$ .

2. $\|\vec u\|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ et $\|\vec v\|=\sqrt{(-1)^2+4^2}=\sqrt{17}$ .

3. On isole le cosinus dans la formule : $\cos(\vec u,\vec v)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}=\dfrac{10}{\sqrt{13}\times\sqrt{17}}=\dfrac{10}{\sqrt{221}}\approx0{,}673$ . D'où un angle d'environ $48^\circ$ .

Le réflexe à retenir

Deux visages du produit scalaire : coordonnées ( $xx'+yy'$ ) pour calculer, géométrique ( $\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta$ ) pour l'angle. Pour un angle : produit scalaire ÷ (produit des normes) = $\cos\theta$ .