Second degré — discriminant, forme canonique, signe

Deux exercices type : résoudre et factoriser à l'aide du discriminant, puis exploiter la forme canonique (sommet, variations).

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Discriminant, racines et signe

Le discriminant

\Delta=b^2-4ac

est le juge de paix du second degré : il dit combien de racines existent (

\Delta>0

: deux,

\Delta=0

: une,

\Delta<0

: aucune) et permet de les calculer par

x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}

. On étudie

f(x)=2x^2-8x+6

Calculer le discriminant $\Delta$ et en déduire les racines de $f$ .
Donner la forme factorisée de $f(x)$ .
Dresser le tableau de signes de $f(x)$ .

Voir la correction

1. Avec $a=2$ , $b=-8$ , $c=6$ : $\Delta=(-8)^2-4\times2\times6=64-48=16>0$ . Il y a donc deux racines. Comme $\sqrt\Delta=4$ : $x_1=\dfrac{8-4}{4}=1$ et $x_2=\dfrac{8+4}{4}=3$ .

2. Dès qu'on connaît les racines, la factorisation est automatique : $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=2(x-1)(x-3)$ .

3. Règle du signe : un trinôme est du **signe de $a$ à l'extérieur des racines**, du signe contraire entre elles. Ici $a=2>0$ : donc $f(x)>0$ sur $]-\infty;1[\cup]3;+\infty[$ , $f(x)<0$ sur $]1\,;3[$ , et $f(x)=0$ en $1$ et $3$ .

Le réflexe à retenir

Le discriminant décide de tout : nombre de racines et calcul par $\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ . Pour le signe, retiens la règle : *signe de $a$ à l'extérieur des racines*, signe opposé entre elles.

Exercice 2 — Forme canonique et sommet

La forme canonique

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

révèle d'un coup le sommet

(\alpha\,;\beta)

de la parabole et son sens de variation. On étudie

g(x)=x^2-6x+5

Écrire $g(x)$ sous forme canonique.
En déduire les coordonnées du sommet et le sens de variation de $g$ .
Résoudre l'équation $g(x)=0$ à partir de la forme canonique.

Voir la correction

1. On complète le carré : $x^2-6x=(x-3)^2-9$ (car $(x-3)^2=x^2-6x+9$ , on retire le $9$ en trop). Donc $g(x)=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4$ .

2. La forme $(x-3)^2-4$ se lit directement : sommet $(3\,;-4)$ . Comme $a=1>0$ , la parabole est tournée vers le haut : $g$ décroît sur $]-\infty;3]$ , croît sur $[3;+\infty[$ , avec un minimum $-4$ en $x=3$ .

3. La forme canonique évite le discriminant : $g(x)=0\iff(x-3)^2=4\iff x-3=\pm2\iff x=1$ ou $x=5$ .

Le réflexe à retenir

La forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ donne gratuitement le sommet $(\alpha\,;\beta)$ , le sens de variation (selon le signe de $a$ ) et permet de résoudre sans discriminant. On l'obtient en complétant le carré.