Second degré — discriminant et signe (techno)

Deux exercices type : résoudre une équation du second degré, puis étudier le signe d'un trinôme.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Résoudre une équation

Le discriminant

\Delta=b^2-4ac

décide du nombre de solutions (

>0

: deux,

=0

: une,

<0

: aucune).

Résoudre $x^2-5x+6=0$ .
Résoudre $x^2+2x+5=0$ .

Voir la correction

1. $\Delta=25-24=1>0$ , $\sqrt\Delta=1$ . Racines : $x=\dfrac{5\pm1}{2}$ , soit $x=2$ ou $x=3$ .

2. $\Delta=4-20=-16<0$ : aucune racine réelle, l'équation n'a pas de solution.

Le réflexe à retenir

Calcule **toujours $\Delta$ d'abord** : il dit s'il y a $2$ , $1$ ou $0$ solution avant même de chercher. Puis $x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ .

Exercice 2 — Signe d'un trinôme

Règle du signe : un trinôme est du **signe de

a

à l'extérieur des racines**.

Étudier le signe de $f(x)=x^2-5x+6$ .

Voir la correction

1. Racines $2$ et $3$ (exercice précédent), et $a=1>0$ . Donc $f(x)>0$ sur $]-\infty;2[\cup]3;+\infty[$ , $f(x)<0$ sur $]2\,;3[$ , et $f(x)=0$ en $2$ et $3$ .

Le réflexe à retenir

Signe d'un trinôme : *signe de $a$ à l'extérieur des racines*, signe opposé entre elles. Il faut donc d'abord les racines (via $\Delta$ ).