Mathématiques · 1re · Suites

Suites — arithmétiques et géométriques

Deux exercices type : reconnaître et exploiter une suite arithmétique (terme général, somme), puis une suite géométrique.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Suite arithmétique

Réflexe de reconnaissance : on ajoute toujours le même nombre → suite arithmétique de raison

r

, avec

u_n=u_0+nr

. Ici

u_0=5

r=3

Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer $u_{10}$ .
Calculer la somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_{10}$ .

Voir la correction

1. Terme général d'une suite arithmétique : $u_n=u_0+nr=5+3n$ .

2. On remplace $n$ par $10$ : $u_{10}=5+3\times10=35$ .

3. La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique se calcule sans tout additionner : c'est (nombre de termes) $\times\dfrac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}$ . Ici $11$ termes (de $u_0$ à $u_{10}$ ) : $S=11\times\dfrac{5+35}{2}=11\times20=220$ .

Le réflexe à retenir

Arithmétique : on ajoute $r$ , donc $u_n=u_0+nr$ . La somme = **nombre de termes $\times$ moyenne des extrêmes — attention à bien compter** les termes ( $u_0$ à $u_{10}$ en fait $11$ ).

Exercice 2 — Suite géométrique

Autre réflexe : on multiplie toujours par le même nombre → suite géométrique de raison

q

, avec

v_n=v_0\,q^n

. Ici

v_0=2

q=3

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .
Calculer $v_5$ .
Calculer la somme $S=v_0+v_1+\cdots+v_5$ .

Voir la correction

1. Terme général d'une suite géométrique : $v_n=v_0\,q^n=2\times3^n$ .

2. $v_5=2\times3^5=2\times243=486$ .

3. La somme d'une suite géométrique (raison $q\neq1$ ) est $v_0\times\dfrac{1-q^{\,\text{nb termes}}}{1-q}$ . Ici $6$ termes : $S=2\times\dfrac{1-3^6}{1-3}=2\times\dfrac{1-729}{-2}=2\times364=728$ .

Le réflexe à retenir

Géométrique : on multiplie par $q$ , donc $v_n=v_0\,q^n$ . Somme = $v_0\times\dfrac{1-q^{\text{(nb termes)}}}{1-q}$ . Ne confonds pas l'exposant (nombre de termes) avec l'indice du dernier terme.