Trigonométrie — cercle trigonométrique et équations

Deux exercices type : utiliser les valeurs remarquables et les angles associés, puis résoudre des équations trigonométriques sur un intervalle.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Valeurs remarquables et angles associés

Sur le cercle trigonométrique, les valeurs remarquables et les relations d'angles associés se lisent par symétrie. À retenir :

\cos(\pi-x)=-\cos x

\sin(\pi-x)=\sin x

(symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).

Donner les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{3}$ , $\sin\dfrac{\pi}{3}$ , $\cos\dfrac{\pi}{4}$ et $\cos\dfrac{\pi}{6}$ .
En déduire $\cos\dfrac{2\pi}{3}$ et $\sin\dfrac{2\pi}{3}$ .

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1. Valeurs du cours : $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ , $\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ , $\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ .

2. L'idée : **ramener $\dfrac{2\pi}{3}$ à un angle connu** en écrivant $\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$ . Les formules des angles associés donnent alors $\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac12$ et $\sin\dfrac{2\pi}{3}=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ .

Le réflexe à retenir

Pour un angle non remarquable, ramène-le à un angle connu ( $\pi-x$ , $\pi+x$ , $-x$ , $\tfrac\pi2-x$ ) et applique la formule d'angle associé correspondante. Le cercle trigonométrique aide à retrouver le signe (quel quadrant ?).

Exercice 2 — Équations trigonométriques

Résoudre

\cos x=c

\sin x=s

sur un intervalle, c'est repérer sur le cercle tous les points correspondants. En général, chaque valeur donne deux angles (symétriques).

Résoudre $\cos x=\dfrac12$ sur $[0\,;2\pi[$ .
Résoudre $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ sur $[0\,;2\pi[$ .

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1. $\cos x=\dfrac12$ : sur le cercle, deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Le premier est $x=\dfrac{\pi}{3}$ , le second $x=2\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}$ .

2. $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ : deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Le premier est $x=\dfrac{\pi}{4}$ , le second $x=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$ .

Le réflexe à retenir

Une équation $\cos x=c$ ou $\sin x=s$ a en général deux solutions par tour. Pour $\cos$ : solutions opposées ( $x$ et $2\pi-x$ ) ; pour $\sin$ : solutions supplémentaires ( $x$ et $\pi-x$ ). Trace le cercle pour ne pas en oublier.