Variables aléatoires — loi, espérance, variance

Deux exercices type : déterminer la loi, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire, puis analyser un jeu et son équité.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Loi, espérance et variance

L'espérance

E(X)=\sum x_i\,P(X=x_i)

est le gain moyen « à long terme » ; la variance

V(X)=E(X^2)-E(X)^2

mesure la dispersion. On considère

X

le gain (€) d'un jeu :

P(X=-2)=0{,}5

P(X=1)=0{,}3

P(X=5)=0{,}2

Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité.
Calculer l'espérance $E(X)$ .
Calculer la variance $V(X)$ et l'écart-type (arrondi à $10^{-2}$ ).

Voir la correction

1. Deux conditions : chaque probabilité est dans $[0\,;1]$ ✓, et leur **somme vaut $1$ ** : $0{,}5+0{,}3+0{,}2=1$ ✓. C'est bien une loi de probabilité.

2. $E(X)=(-2)\times0{,}5+1\times0{,}3+5\times0{,}2=-1+0{,}3+1=0{,}3$ : en moyenne, le joueur gagne $0{,}3$ € par partie.

3. On utilise $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ (plus rapide que la définition). D'abord $E(X^2)=(-2)^2\times0{,}5+1^2\times0{,}3+5^2\times0{,}2=2+0{,}3+5=7{,}3$ . Donc $V(X)=7{,}3-0{,}3^2=7{,}3-0{,}09=7{,}21$ , et $\sigma=\sqrt{7{,}21}\approx2{,}69$ .

Le réflexe à retenir

Une loi de probabilité : probabilités positives et de **somme $1$ **. Espérance = $\sum x_iP(X=x_i)$ (le « centre »). Variance = $E(X^2)-E(X)^2$ (attention : c'est $E(X^2)$ , pas $E(X)^2$ ). Écart-type $=\sqrt{V}$ .

Exercice 2 — Étudier l'équité d'un jeu

Un jeu est équitable quand l'espérance du gain est nulle. On paie

a

€ pour jouer ; on gagne

10

€ avec probabilité

0{,}2

, rien sinon.

X

= gain net.

Donner la loi de $X$ (en fonction de $a$ ).
Exprimer $E(X)$ en fonction de $a$ .
Déterminer la valeur de $a$ pour laquelle le jeu est équitable.

Voir la correction

1. Le gain net = gain − mise. Avec probabilité $0{,}2$ le joueur gagne $10-a$ ; avec probabilité $0{,}8$ il perd sa mise, soit $-a$ . Donc $P(X=10-a)=0{,}2$ et $P(X=-a)=0{,}8$ .

2. $E(X)=0{,}2\,(10-a)+0{,}8\,(-a)=2-0{,}2a-0{,}8a=2-a$ .

3. Jeu équitable ⇔ $E(X)=0$ ⇔ $2-a=0$ ⇔ $a=2$ € . Au-delà de $2$ € de mise, le jeu devient défavorable au joueur (espérance négative).

Le réflexe à retenir

Un jeu équitable a une espérance nulle ; favorable au joueur si $E(X)>0$ , défavorable si $E(X)<0$ . Pense toujours au gain net (gain moins mise), et n'oublie pas l'issue « on perd la mise ».