Mathématiques · Terminale · Dénombrement

Dénombrement — principe multiplicatif, arrangements, combinaisons

Deux exercices type : compter avec le principe multiplicatif et les p-listes, puis distinguer arrangements (l'ordre compte) et combinaisons (l'ordre ne compte pas).

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Principe multiplicatif et p-listes

La première question à se poser en dénombrement : y a-t-il ordre ? y a-t-il répétition ? Quand on fait une succession de choix indépendants, on multiplie les possibilités. Choisir

p

éléments parmi

n

avec ordre et avec répétition donne

n^p

(

p

-listes).

Un menu propose $2$ entrées, $3$ plats et $4$ desserts. Combien de menus (une entrée, un plat, un dessert) peut-on composer ?
Quatre personnes indiquent chacune leur mois de naissance. Combien de résultats différents sont possibles ?
Une plaque est formée de $2$ lettres, puis $3$ chiffres, puis $2$ lettres (répétitions autorisées). Combien de plaques commencent par la lettre A ?

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1. Trois choix successifs et indépendants : $2$ , puis $3$ , puis $4$ possibilités. Le principe multiplicatif donne $2\times3\times4=24$ menus.

2. Chaque personne a $12$ choix, et ces choix se répètent (deux personnes peuvent naître le même mois) : c'est une ** $4$ -liste** sur $12$ éléments, soit $12^4=20\,736$ résultats.

3. La plaque a $7$ positions : L L C C C L L. On compte position par position : 1re lettre imposée (A) → $1$ choix ; 2e lettre → $26$ ; chaque chiffre → $10$ (soit $10^3$ ) ; chacune des deux dernières lettres → $26$ (soit $26^2$ ). On multiplie : $1\times26\times10^3\times26^2=26^3\times10^3=17\,576\,000$ .

Le réflexe à retenir

Avant de compter, tranche deux questions : l'ordre compte-t-il ? la répétition est-elle possible ? Une succession de choix indépendants se multiplie ; avec ordre + répétition, $p$ choix parmi $n$ donnent $n^p$ . Compte position par position, en traitant à part les positions imposées.

Exercice 2 — Arrangements et combinaisons

Sans répétition, tout dépend encore de l'ordre. Avec ordre : un arrangement

A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)

. Sans ordre : une combinaison

\dbinom{n}{p}=\dfrac{A_n^p}{p!}

— on divise par

p!

pour ne plus compter les ordres d'un même groupe.

Une urne contient $12$ boules distinctes (A à L). On tire $5$ boules successivement sans remise. Combien de « mots » de $5$ lettres peut-on former ?
Quinze candidats disputent une finale ; seuls les $3$ premiers sont classés (or, argent, bronze).
1. Combien de classements des trois premiers sont possibles ?
2. Si un candidat est assuré de finir deuxième, combien de classements restent possibles ?
Parmi ces $15$ candidats, on choisit un jury de $3$ personnes (sans rôle distinct). Combien de jurys possibles ?

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1. Un « mot » : l'ordre compte ; sans remise : pas de répétition. C'est un arrangement de $5$ parmi $12$ : $A_{12}^5=12\times11\times10\times9\times8=95\,040$ .

2. a. Or, argent, bronze sont des rôles distincts : l'ordre compte, sans répétition. $A_{15}^3=15\times14\times13=2\,730$ classements.

2. b. La 2e place est fixée ; il reste à répartir la 1re et la 3e place parmi les $14$ autres candidats, dans l'ordre : $14\times13=182$ classements.

3. Un jury n'a pas de rôle distinct : l'ordre ne compte pas, c'est une combinaison. $\dbinom{15}{3}=\dfrac{15\times14\times13}{3!}=\dfrac{2\,730}{6}=455$ jurys. *(On retrouve $A_{15}^3$ divisé par $3!$ : les $6$ classements d'un même trio ne forment qu'un seul jury.)*

Le réflexe à retenir

La distinction décisive : des rôles/positions distincts (podium, code, mots) → arrangement $A_n^p$ ; un groupe sans rôle (équipe, jury, comité) → combinaison $\dbinom{n}{p}$ . Passer de l'arrangement à la combinaison, c'est **diviser par $p!$ ** (le nombre d'ordres d'un même groupe).