Mathématiques · Terminale · Convexité

Convexité — dérivée seconde, inflexion, position/tangente

Deux exercices type : étudier la convexité et le point d'inflexion via la dérivée seconde, puis exploiter la convexité pour comparer une courbe à ses tangentes.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Convexité et point d'inflexion

La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde :

f

est convexe («

\smile

») là où

f''\geq0

, concave («

\frown

») là où

f''\leq0

. Un point d'inflexion est un point où la courbe change de courbure : c'est là que

f''

s'annule en changeant de signe. On étudie

f(x)=x^3-3x^2+2

Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire les intervalles de convexité et de concavité.
Déterminer les coordonnées du point d'inflexion de la courbe de $f$ .

Voir la correction

1. On dérive une première fois : $f'(x)=3x^2-6x$ . Puis une seconde fois : $f''(x)=6x-6$ .

2. On factorise pour lire le signe : $f''(x)=6(x-1)$ , négatif pour $x<1$ , positif pour $x>1$ . Donc $f$ est concave sur $]-\infty;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$ .

3. La courbure change en $x=1$ , où $f''$ s'annule en changeant de signe : c'est un point d'inflexion. On calcule son ordonnée : $f(1)=1-3+2=0$ . Le point d'inflexion est donc $(1\,;0)$ .

Le réflexe à retenir

Convexité = **signe de $f''$ ** (convexe où $f''\geq0$ , concave où $f''\leq0$ ). Un point d'inflexion n'est pas « là où $f''=0$ » tout court : il faut que $f''$ change de signe en ce point. On n'oublie jamais de calculer l'ordonnée pour donner les coordonnées.

Exercice 2 — Convexité et position par rapport aux tangentes

Le lien géométrique clé : une fonction convexe a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes ; une fonction concave, en dessous. C'est un moyen puissant de démontrer des inégalités. On l'exploite sur

g(x)=\ln x

, sur

]0\,;+\infty[

Calculer $g'(x)$ et $g''(x)$ , puis en déduire que $g$ est concave sur $]0\,;+\infty[$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $1$ .
En déduire que pour tout réel $x>0$ : $\ln x\leq x-1$ .

Voir la correction

1. $g'(x)=\dfrac1x$ , puis $g''(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ . Pour tout $x>0$ , $g''(x)<0$ : la fonction $g$ est donc concave sur $]0\,;+\infty[$ .

2. Tangente au point d'abscisse $1$ : $y=g'(1)(x-1)+g(1)$ . Or $g(1)=\ln1=0$ et $g'(1)=1$ , donc l'équation est $y=x-1$ .

3. On assemble : $g$ est concave, donc sa courbe est en dessous de toutes ses tangentes, en particulier de celle d'équation $y=x-1$ . « Courbe en dessous de la tangente » signifie exactement $g(x)\leq x-1$ , c'est-à-dire $\ln x\leq x-1$ pour tout $x>0$ (avec égalité seulement en $x=1$ , le point de tangence).

Le réflexe à retenir

Pour démontrer une inégalité du type $\ln x\leq x-1$ ou $e^x\geq1+x$ , pense convexité vs tangente : convexe → au-dessus de ses tangentes, concave → en dessous. On écrit la tangente au bon point, et l'inégalité en découle directement.