Mathématiques · Terminale · Dérivation

Dérivation — dérivée, tangente, variations (techno)

Deux exercices type : calculer une dérivée et une tangente, puis étudier les variations d'une fonction du second degré.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Dérivée et tangente

Le nombre dérivé

f'(a)

est la pente de la courbe en

a

: c'est le coefficient directeur de la tangente, d'équation

y=f'(a)(x-a)+f(a)

. On étudie

f(x)=2x^2-3x+1

Calculer $f'(x)$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $1$ .

Voir la correction

1. On dérive terme à terme : $f'(x)=4x-3$ .

2. La formule de la tangente demande deux ingrédients : $f(1)=2-3+1=0$ (l'ordonnée du point) et $f'(1)=4-3=1$ (la pente). D'où $y=f'(1)(x-1)+f(1)=1\times(x-1)+0=x-1$ .

Le réflexe à retenir

Pour une tangente en $a$ , calcule deux choses : $f(a)$ (où l'on touche la courbe) et $f'(a)$ (la pente), puis applique $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ . Ne les confonds jamais.

Exercice 2 — Variations

Le signe de la dérivée donne le sens de variation. On étudie

g(x)=-x^2+4x

sur

\mathbb{R}

Calculer $g'(x)$ et étudier son signe.
En déduire les variations de $g$ et son maximum.

Voir la correction

1. $g'(x)=-2x+4$ . On le factorise pour lire le signe : $g'(x)=-2(x-2)$ , positif pour $x<2$ , négatif pour $x>2$ .

2. Comme $g'$ passe du positif au négatif, $g$ croît sur $]-\infty;2]$ puis décroît sur $[2;+\infty[$ : elle admet donc un **maximum en $x=2$ **, valant $g(2)=-4+8=4$ .

Le réflexe à retenir

$g'>0$ → $g$ croît, $g'<0$ → $g$ décroît. Un maximum apparaît là où $g'$ passe de $+$ à $-$ (un minimum, de $-$ à $+$ ). On factorise toujours $g'$ pour lire son signe d'un coup d'œil.