Dérivation — calculs et étude de fonction — Exercices Terminale — Sigma Enseignement

Exercice 1 — Calculs de dérivées

Le réflexe avant tout calcul : repérer la structure de la fonction (est-ce un produit ? un quotient ?) pour choisir la bonne formule. On rappelle

(uv)'=u'v+uv'

\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Dériver $f(x)=(4x+7)(7x+10)$ sur $\mathbb{R}$ .
Dériver $f(x)=\dfrac{3x-4}{2x+1}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{-\tfrac12\}$ .
Dériver $f(x)=\dfrac{3x-2}{2x^2-3x+5}$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

1. On reconnaît un produit $uv$ : on pose $u=4x+7$ et $v=7x+10$ , d'où $u'=4$ , $v'=7$ . La formule du produit donne $f'(x)=u'v+uv'=4(7x+10)+7(4x+7)$ . On développe et on réduit : $28x+40+28x+49=56x+89$ .

2. Cette fois c'est un quotient $\dfrac{u}{v}$ avec $u=3x-4$ , $v=2x+1$ . La difficulté est de ne pas se tromper de signe au numérateur : $f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{3(2x+1)-2(3x-4)}{(2x+1)^2}$ . On développe soigneusement : $6x+3-6x+8=11$ . Donc $f'(x)=\dfrac{11}{(2x+1)^2}$ (toujours positif : la fonction est croissante sur chaque intervalle).

3. Encore un quotient, avec $u=3x-2$ et $v=2x^2-3x+5$ (donc $v'=4x-3$ ). On calcule le numérateur à part pour éviter les erreurs : $u'v-uv'=3(2x^2-3x+5)-(3x-2)(4x-3)$ . Le premier morceau vaut $6x^2-9x+15$ ; le second, $(3x-2)(4x-3)=12x^2-17x+6$ . En soustrayant : $6x^2-9x+15-12x^2+17x-6=-6x^2+8x+9$ . D'où $f'(x)=\dfrac{-6x^2+8x+9}{(2x^2-3x+5)^2}$ .

Le réflexe à retenir

Avant de dériver, identifie la structure (produit ? quotient ? composée ?) : c'est elle qui dicte la formule. Pour un quotient, le piège n°1 est le signe : écris toujours $u'v-uv'$ dans cet ordre, et calcule le numérateur à part avant de le poser sur $v^2$ .

Exercice 2 — Étude d'une fonction rationnelle

On considère

f(x)=\dfrac{10x+4}{5x^2+1}

sur

\mathbb{R}

, de courbe

\mathcal{C}_f

. Étudier une fonction, c'est enchaîner un parcours balisé : dérivée → signe de la dérivée → variations → tangente → position.

Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ .
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ .

Voir la correction

1. Quotient avec $u=10x+4$ , $v=5x^2+1$ ( $v'=10x$ ) : $f'(x)=\dfrac{10(5x^2+1)-(10x+4)(10x)}{(5x^2+1)^2}$ . On développe le numérateur : $50x^2+10-(100x^2+40x)=-50x^2-40x+10$ . Donc $f'(x)=\dfrac{-50x^2-40x+10}{(5x^2+1)^2}$ .

2. Point clé : le dénominateur $(5x^2+1)^2$ est toujours strictement positif, donc le signe de $f'$ est entièrement porté par le numérateur. On factorise ce trinôme : $-50x^2-40x+10=-10(5x^2+4x-1)=-10(5x-1)(x+1)$ . C'est une parabole tournée vers le bas (coefficient $-50<0$ ), donc positive entre ses racines $-1$ et $\tfrac15$ . Bilan : $f$ décroît sur $]-\infty;-1]$ , croît sur $[-1;\tfrac15]$ , décroît sur $[\tfrac15;+\infty[$ .

3. La tangente en $0$ a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ . On calcule les deux ingrédients : $f(0)=\dfrac{4}{1}=4$ et $f'(0)=\dfrac{10}{1}=10$ . Donc $T:\ y=10x+4$ .

4. Pour la position, on étudie le signe de la différence $f(x)-(10x+4)$ . On factorise malin : $f(x)-(10x+4)=(10x+4)\left(\dfrac{1}{5x^2+1}-1\right)=(10x+4)\cdot\dfrac{-5x^2}{5x^2+1}=\dfrac{-5x^2(10x+4)}{5x^2+1}$ . Comme $-5x^2\leq0$ et le dénominateur $>0$ , ce signe est l'opposé de celui de $10x+4$ . Conclusion : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$ pour $x<-\tfrac25$ , en dessous pour $x>-\tfrac25$ ; elles se touchent en $x=0$ (point de tangence) et se croisent en $x=-\tfrac25$ .

Le réflexe à retenir

Étude d'une fonction = parcours fixe : dérivée → signe de la dérivée (souvent porté par le seul numérateur, car un carré au dénominateur est positif) → tableau de variations. Pour une tangente, applique $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ . Pour une position relative, étudie toujours le signe de la différence des deux expressions.