Exponentielle — équations, dérivées, inégalité de référence — Exercices Terminale — Sigma Enseignement

Exercice 1 — Manipuler l'exponentielle

Deux propriétés gouvernent tout :

e^x>0

pour tout

x

(l'exponentielle ne s'annule jamais), et sa stricte croissance, qui permet de « simplifier » les exponentielles :

e^A=e^B\iff A=B

.

Démontrer que la fonction $f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$ est impaire sur $\mathbb{R}$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{3x+4}=2$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^x+e^{-x}-6=0$ (on posera $X=e^x$ ).

Voir la correction

1. Le domaine $\mathbb{R}$ est symétrique : on peut tester la parité. On calcule $f(-x)=\dfrac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}$ . L'astuce, pour se débarrasser des exposants négatifs, est de **multiplier haut et bas par $e^x$ ** : $f(-x)=\dfrac{1-e^x}{1+e^x}=-\dfrac{e^x-1}{e^x+1}=-f(x)$ . On a bien $f(-x)=-f(x)$ : la fonction est impaire.

2. Ici un seul membre est une exponentielle : on « libère » l'exposant avec le logarithme. $e^{3x+4}=2\iff 3x+4=\ln2$ (car $\ln$ est la réciproque de $\exp$ ), d'où $x=\dfrac{\ln2-4}{3}$ .

3. L'équation mélange $e^x$ et $e^{-x}$ : le changement de variable $X=e^x$ (avec la contrainte $X>0$ ) la ramène au second degré. Comme $e^{-x}=\tfrac1X$ , elle devient $X+\tfrac1X-6=0$ , soit, en multipliant par $X>0$ , $X^2-6X+1=0$ . Le discriminant vaut $32$ , donc $X=\dfrac{6\pm\sqrt{32}}{2}=3\pm2\sqrt2$ . Les deux racines sont positives (on vérifie que $3-2\sqrt2>0$ ), donc acceptables : en revenant à $x=\ln X$ , on obtient $x=\ln(3+2\sqrt2)$ ou $x=\ln(3-2\sqrt2)$ .

Le réflexe à retenir

Pour une équation avec exp : si un seul $e^{\square}$ , on applique $\ln$ ; si $e^x$ et $e^{-x}$ apparaissent, on pose $X=e^x$ (sans oublier $X>0$ , qui filtre les solutions) pour se ramener au second degré.

Exercice 2 — Dériver et étudier avec l'exponentielle

On rappelle

(e^u)'=u'e^u

. Un fait qui simplifie toutes les études : le facteur

e^{\square}

est toujours strictement positif, donc il ne change jamais le signe de la dérivée — le signe est porté par le reste.

Soit $f(x)=xe^x$ . Calculer $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Soit $g(x)=(2-x^2)e^x$ . Calculer $g'(x)$ .
Soit $h(x)=\dfrac{2e^x-1}{e^x+3}$ . Montrer que $h'(x)=\dfrac{7e^x}{(e^x+3)^2}$ .

Voir la correction

1. Produit $u=x$ , $v=e^x$ : $f'(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x=(x+1)e^x$ . Comme $e^x>0$ , le signe de $f'$ est **celui de $x+1$ ** : $f$ décroît sur $]-\infty;-1]$ , croît sur $[-1;+\infty[$ , avec un minimum en $x=-1$ ( $f(-1)=-e^{-1}$ ).

2. Produit avec $u=2-x^2$ ( $u'=-2x$ ), $v=e^x$ : $g'(x)=-2x\,e^x+(2-x^2)e^x$ . On **met $e^x$ en facteur** (c'est toujours ce qu'on fait) : $g'(x)=e^x(-x^2-2x+2)$ . Le signe de $g'$ ne dépendra donc que du trinôme $-x^2-2x+2$ .

3. Quotient $u=2e^x-1$ ( $u'=2e^x$ ), $v=e^x+3$ ( $v'=e^x$ ) : $h'(x)=\dfrac{2e^x(e^x+3)-(2e^x-1)e^x}{(e^x+3)^2}$ . On **factorise le numérateur par $e^x$ ** : $e^x\big[2(e^x+3)-(2e^x-1)\big]=e^x(2e^x+6-2e^x+1)=7e^x$ . D'où $h'(x)=\dfrac{7e^x}{(e^x+3)^2}$ (positif : $h$ est croissante).

Le réflexe à retenir

Après avoir dérivé une expression avec exp, **mets systématiquement $e^{\square}$ en facteur** : d'une part cela simplifie, d'autre part, comme $e^{\square}>0$ , l'étude du signe se réduit à celle du facteur restant.

Exercice 3 — L'inégalité $e^x\geq 1+x$

On veut établir l'inégalité de référence

e^x\geq 1+x

, valable pour tout réel

x

. La méthode universelle pour comparer deux expressions : étudier le signe de leur différence via une fonction auxiliaire.

Étudier les variations de $g(x)=e^x-x-1$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire que $e^x\geq 1+x$ pour tout $x$ .
Interpréter géométriquement ce résultat vis-à-vis de la courbe de l'exponentielle.

Voir la correction

1. On pose $g(x)=e^x-x-1$ : montrer $e^x\geq1+x$ revient à montrer $g(x)\geq0$ . On dérive : $g'(x)=e^x-1$ . Or $e^x-1\geq0\iff x\geq0$ : donc $g$ décroît sur $]-\infty;0]$ puis croît sur $[0;+\infty[$ . Elle atteint donc son **minimum en $0$ **, et ce minimum vaut $g(0)=e^0-0-1=0$ . Le minimum de $g$ étant $0$ , on a $g(x)\geq0$ partout, c'est-à-dire $e^x\geq1+x$ .

2. La droite $y=1+x$ est précisément la tangente à la courbe de l'exponentielle au point d'abscisse $0$ (car $e^0=1$ et la pente y vaut $e^0=1$ ). L'inégalité $e^x\geq1+x$ signifie donc que la courbe de l'exponentielle est toujours au-dessus de cette tangente — traduction de la convexité de la fonction exponentielle.

Le réflexe à retenir

Pour démontrer une inégalité entre deux expressions, ramène-toi au signe d'une différence $g=\text{(gauche)}-\text{(droite)}$ , puis étudie les variations de $g$ : si son minimum est $\geq0$ , l'inégalité est prouvée. Géométriquement, « courbe au-dessus de sa tangente » = convexité.