Mathématiques · Terminale · Exponentielle

Exponentielle — équations et modèle d'évolution (techno)

Deux exercices type : résoudre des équations avec exp, puis dériver un modèle de décroissance.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Propriétés et équations

Deux règles suffisent souvent :

e^a\times e^b=e^{a+b}

(les exposants s'ajoutent), et la stricte croissance de l'exponentielle, qui donne

e^A=e^B\iff A=B

Simplifier $\dfrac{e^{3x}\times e^{2}}{e^{x}}$ .
Résoudre $e^{2x}=e^{x+3}$ .

Voir la correction

1. On additionne et soustrait les exposants : $\dfrac{e^{3x}\times e^{2}}{e^{x}}=\dfrac{e^{3x+2}}{e^{x}}=e^{3x+2-x}=e^{2x+2}$ .

2. Les deux membres sont des exponentielles : par stricte croissance, on peut identifier les exposants. $e^{2x}=e^{x+3}\iff 2x=x+3\iff x=3$ .

Le réflexe à retenir

Manipuler l'exponentielle = manipuler les exposants ( $\times$ devient $+$ , $\div$ devient $-$ ). Et $e^A=e^B\iff A=B$ : deux exponentielles égales ont des exposants égaux.

Exercice 2 — Modèle d'évolution

L'exponentielle modélise les évolutions à taux constant. La quantité d'un produit (en g) est

f(t)=50\,e^{-0{,}2t}

(

t

en heures). On rappelle

(e^{u})'=u'e^{u}

Calculer $f(0)$ et interpréter.
Calculer $f'(t)$ et en déduire le sens de variation de $f$ .

Voir la correction

1. $f(0)=50\,e^{0}=50$ (car $e^0=1$ ) : c'est la quantité initiale, soit $50$ g.

2. Avec $u=-0{,}2t$ ( $u'=-0{,}2$ ) : $f'(t)=50\times(-0{,}2)\,e^{-0{,}2t}=-10\,e^{-0{,}2t}$ . Or $e^{-0{,}2t}>0$ toujours, donc $f'(t)<0$ : $f$ est décroissante, le produit diminue au cours du temps (décroissance exponentielle).

Le réflexe à retenir

Dans un modèle $A\,e^{kt}$ : $f(0)=A$ est la valeur initiale ; le **signe de $k$ ** donne le sens ( $k<0$ → décroissance, $k>0$ → croissance), car $e^{kt}>0$ ne change jamais le signe de la dérivée.