Géométrie dans l'espace — droites, plans, intersections

Deux exercices type : manipuler représentations paramétriques et équation cartésienne d'un plan, puis déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Droite (AB) et plan (ABC)

Dans l'espace repéré, une droite se décrit par un point + un vecteur directeur (représentation paramétrique), un plan par une équation

ax+by+cz+d=0

dont

(a\,;b\,;c)

est un vecteur normal. On donne

A(1\,;0\,;2)

B(2\,;1\,;0)

C(0\,;1\,;1)

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ .
Les points $A$ , $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier.
Déterminer un vecteur normal au plan $(ABC)$ , puis une équation cartésienne de ce plan.

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1. Il faut un point et un vecteur directeur. $\vec{AB}=(2-1\,;1-0\,;0-2)=(1\,;1\,;-2)$ . La droite passe par $A(1\,;0\,;2)$ : $\begin{cases}x=1+t\\ y=t\\ z=2-2t\end{cases}$ , $t\in\mathbb{R}$ .

2. Aligner $A$ , $B$ , $C$ reviendrait à ce que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ soient colinéaires. Or $\vec{AC}=(-1\,;1\,;-1)$ : les coordonnées ne sont pas proportionnelles à celles de $\vec{AB}=(1\,;1\,;-2)$ (par exemple $\tfrac{1}{-1}\neq\tfrac{1}{1}$ ). Donc non alignés — ils définissent bien un plan.

3. Un vecteur normal $\vec n=(a\,;b\,;c)$ doit être orthogonal aux deux vecteurs du plan : $\vec n\cdot\vec{AB}=0$ et $\vec n\cdot\vec{AC}=0$ , soit $\begin{cases}a+b-2c=0\\ -a+b-c=0\end{cases}$ . On résout : en additionnant, $2b-3c=0$ ; en soustrayant, $2a-c=0$ donc $c=2a$ , puis $b=3a$ . On choisit $a=1$ : $\vec n=(1\,;3\,;2)$ . Le plan a alors une équation $x+3y+2z+d=0$ ; on trouve $d$ en imposant le passage par $A$ : $1+0+4+d=0$ , donc $d=-5$ . Équation : $x+3y+2z-5=0$ (vérifiée par $B$ et $C$ ).

Le réflexe à retenir

Droite = point + vecteur directeur (paramétrique) ; plan = équation $ax+by+cz+d=0$ avec $(a,b,c)$ normal. Pour trouver un vecteur normal à un plan $(ABC)$ : imposer l'orthogonalité à $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ (deux équations), puis fixer $d$ avec un point du plan.

Exercice 2 — Intersection d'une droite et d'un plan

On considère le plan

\mathcal{P}:\ x+3y+2z-5=0

et la droite

\mathcal{D}

passant par

I(1\,;1\,;1)

de vecteur directeur

\vec u=(1\,;0\,;1)

. Une droite et un plan se coupent en un point unique dès que la droite n'est pas parallèle au plan — ce qui se teste avec le vecteur normal.

Donner une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ , puis vérifier que $\mathcal{D}$ n'est pas parallèle à $\mathcal{P}$ .
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ .

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1. $\mathcal{D}:\ \begin{cases}x=1+t\\ y=1\\ z=1+t\end{cases}$ , $t\in\mathbb{R}$ . Le test de parallélisme : la droite est parallèle au plan ssi son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal $\vec n=(1\,;3\,;2)$ . Or $\vec u\cdot\vec n=1\times1+0\times3+1\times2=3\neq0$ : ils ne sont pas parallèles, donc la droite coupe le plan en un point unique.

2. On injecte la paramétrisation dans l'équation du plan pour trouver la valeur de $t$ : $(1+t)+3(1)+2(1+t)-5=0$ , soit $3t+1=0$ , donc $t=-\tfrac13$ . On remplace dans $\mathcal{D}$ : le point d'intersection est $\left(1-\tfrac13\,;1\,;1-\tfrac13\right)=\left(\tfrac23\,;1\,;\tfrac23\right)$ .

Le réflexe à retenir

Droite ∥ plan ssi vecteur directeur $\perp$ vecteur normal ( $\vec u\cdot\vec n=0$ ). Pour l'intersection, **remplacer $x,y,z$ ** de la paramétrisation dans l'équation du plan : on obtient une équation en $t$ , dont la solution redonne le point.