Mathématiques · Terminale · Intégration

Intégration — calculs, aire et valeur moyenne

Deux exercices type : calculer des intégrales à l'aide d'une primitive, puis déterminer l'aire entre deux courbes et une valeur moyenne.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Calculer une intégrale

Tout calcul d'intégrale repose sur une primitive :

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)

. La difficulté n'est donc jamais l'intégrale elle-même, mais de trouver une primitive de

f

Calculer $\displaystyle\int_0^1 (3x^2-2x+1)\,dx$ .
Calculer $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^2}\,dx$ .
Calculer $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx$ .

Voir la correction

1. On cherche d'abord une primitive : $F(x)=x^3-x^2+x$ . Puis on évalue entre les bornes : $\big[x^3-x^2+x\big]_0^1=(1-1+1)-0=1$ .

2. On réécrit $\dfrac1{x^2}=x^{-2}$ , dont une primitive est $-\dfrac1x$ . Donc $\displaystyle\int_1^2\dfrac1{x^2}\,dx=\left[-\dfrac1x\right]_1^2=-\dfrac12-(-1)=\dfrac12$ .

3. Il faut reconnaître que $\dfrac1x$ a pour primitive $\ln x$ sur $]0;+\infty[$ . Donc $\displaystyle\int_1^e\dfrac1x\,dx=\big[\ln x\big]_1^e=\ln e-\ln1=1-0=1$ .

Le réflexe à retenir

Calculer une intégrale = trouver une primitive, puis appliquer $F(b)-F(a)$ . Avant de crocheter, réécris l'intégrande sous une forme dont tu connais la primitive ( $x^{-2}$ , $\tfrac1x$ , $e^x$ …). Le calcul crochet vient toujours en dernier.

Exercice 2 — Aire entre deux courbes et valeur moyenne

On considère

f(x)=x^2

g(x)=x

sur

[0\,;1]

. L'aire entre deux courbes est l'intégrale de (courbe du haut) − (courbe du bas) : il faut donc d'abord savoir laquelle est au-dessus, c'est-à-dire étudier le signe de leur différence.

Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $[0\,;1]$ .
En déduire l'aire $\mathcal{A}$ (en unités d'aire) du domaine compris entre les deux courbes sur $[0\,;1]$ .
Calculer la valeur moyenne de $g$ sur $[0\,;1]$ .

Voir la correction

1. On étudie le signe de $g(x)-f(x)=x-x^2=x(1-x)$ . Sur $[0\,;1]$ , $x\geq0$ et $1-x\geq0$ , donc $g(x)-f(x)\geq0$ : la courbe $\mathcal{C}_g$ est au-dessus de $\mathcal{C}_f$ .

2. L'aire est donc l'intégrale de la différence (haut moins bas) : $\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16$ unité d'aire.

3. La valeur moyenne de $g$ sur $[0\,;1]$ est $\dfrac{1}{1-0}\displaystyle\int_0^1 x\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1=\dfrac12$ .

Le réflexe à retenir

Aire entre deux courbes : d'abord déterminer qui est au-dessus (signe de la différence), ensuite intégrer (haut − bas). La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ est $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f$ — une intégrale « ramenée à la longueur de l'intervalle ».