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Exercices / Terminale / Intégration

Mathématiques · Terminale · Intégration

Intégration — calcul et valeur moyenne (techno)

Deux exercices type : calculer une intégrale à l'aide d'une primitive, puis déterminer une valeur moyenne.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Calculer une intégrale

Le calcul repose entièrement sur une primitive : ∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a). Le vrai travail est de trouver FF.
  1. Calculer ∫023x2 dx\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx.
  2. Calculer ∫13(2x−1) dx\displaystyle\int_1^3 (2x-1)\,dx.
Voir la correction

1. Une primitive de 3x23x^2 est x3x^3 (on remonte xn→xn+1n+1x^n\to\tfrac{x^{n+1}}{n+1}). Puis [x3]02=8−0=8\big[x^3\big]_0^2=8-0=8.

2. Une primitive de 2x−12x-1 est x2−xx^2-x. Alors [x2−x]13=(9−3)−(1−1)=6\big[x^2-x\big]_1^3=(9-3)-(1-1)=6.

Le réflexe à retenir

Calculer une intégrale = trouver une primitive puis appliquer F(b)−F(a)F(b)-F(a). Le crochet vient toujours en dernier ; l'essentiel est de reconnaître la primitive.

Exercice 2 — Valeur moyenne

La valeur moyenne de ff sur [a ;b][a\,;b] est 1b−a∫abf(x) dx\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx : une intégrale « ramenée à la longueur de l'intervalle ».
  1. Calculer la valeur moyenne de f(x)=x2f(x)=x^2 sur [0 ;3][0\,;3].
Voir la correction

1. On applique la formule : 13−0∫03x2 dx=13[x33]03=13×273=13×9=3\dfrac{1}{3-0}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13\times\dfrac{27}{3}=\dfrac13\times9=3.

Le réflexe à retenir

La valeur moyenne est l'intégrale divisée par la longueur b−ab-a de l'intervalle. On calcule d'abord l'intégrale (via une primitive), puis on divise.