Limites de fonctions — formes indéterminées et asymptotes

Deux exercices type : lever des formes indéterminées ($\infty/\infty$, $0/0$, $\infty-\infty$), puis déterminer les asymptotes d'une fonction rationnelle et la position de la courbe.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Lever une forme indéterminée

Une « forme indéterminée » (FI) n'est pas une limite : c'est un signal qu'il faut transformer l'écriture avant de conclure. À chaque type de FI correspond un geste :

\tfrac{\infty}{\infty}

→ factoriser par le terme dominant ;

\tfrac00

→ factoriser et simplifier ;

\infty-\infty

→ quantité conjuguée.

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2-x+3}{x^2+5}$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$ .

Voir la correction

1. En $+\infty$ , numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : c'est une FI $\tfrac{\infty}{\infty}$ . Le geste : **factoriser par le terme dominant $x^2$ ** en haut et en bas, puis simplifier. $\dfrac{2x^2-x+3}{x^2+5}=\dfrac{x^2\left(2-\tfrac1x+\tfrac3{x^2}\right)}{x^2\left(1+\tfrac5{x^2}\right)}=\dfrac{2-\tfrac1x+\tfrac3{x^2}}{1+\tfrac5{x^2}}$ . Les termes en $\tfrac1x$ tendent vers $0$ , la limite est $\dfrac21=2$ .

2. En remplaçant $x$ par $1$ on trouve $\tfrac00$ : FI. Le geste : factoriser pour faire disparaître ce qui s'annule. $\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ (pour $x\neq1$ ). La limite quand $x\to1$ vaut donc $1+1=2$ .

3. On a $\infty-\infty$ : FI. Le geste : multiplier par la quantité conjuguée $\sqrt{x^2+x}+x$ pour transformer la différence en quotient. $\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$ . On factorise ensuite par $x>0$ : $=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tfrac1x}+1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\dfrac{1}{\sqrt1+1}=\dfrac12$ .

Le réflexe à retenir

Une FI se reconnaît puis se traite par un geste précis : $\tfrac{\infty}{\infty}$ → factoriser par le terme dominant ; $\tfrac00$ → factoriser/simplifier le facteur qui s'annule ; $\infty-\infty$ avec une racine → quantité conjuguée. On ne « devine » jamais une limite indéterminée : on réécrit d'abord.

Exercice 2 — Asymptotes d'une fonction rationnelle

On considère

f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2-1}

sur

\mathbb{R}\setminus\{-1\,;1\}

. Une asymptote traduit un comportement de la courbe « à l'infini » (horizontale) ou « au bord d'une valeur interdite » (verticale). Tout se lit dans les limites.

Déterminer les limites de $f$ en $\pm\infty$ et en déduire une asymptote.
Déterminer les limites de $f$ en $-1$ et en $1$ , et en déduire les asymptotes verticales.
Étudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à l'asymptote horizontale.

Voir la correction

1. En $\pm\infty$ , FI $\tfrac{\infty}{\infty}$ : on factorise par $x^2$ , $f(x)=\dfrac{3}{1-\tfrac1{x^2}}\to3$ . La droite ** $y=3$ est asymptote horizontale** en $+\infty$ et en $-\infty$ .

2. Le dénominateur $x^2-1=(x-1)(x+1)$ s'annule en $\pm1$ , alors que le numérateur $3x^2$ y vaut $3\neq0$ : le quotient explose. Les limites sont donc infinies de part et d'autre, ce qui donne deux asymptotes verticales : $x=1$ et $x=-1$ .

3. Pour la position, on étudie le signe de la différence $f(x)-3=\dfrac{3x^2-3(x^2-1)}{x^2-1}=\dfrac{3}{x^2-1}$ . Ce signe est celui de $x^2-1$ : positif quand $|x|>1$ , négatif quand $|x|<1$ . Donc $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $y=3$ sur $]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[$ , et en dessous sur $]-1\,;1[$ .

Le réflexe à retenir

Asymptote horizontale ⇔ limite finie en $\pm\infty$ ( $y=\ell$ ) ; asymptote verticale ⇔ limite infinie là où le dénominateur s'annule sans le numérateur. Pour la position courbe/asymptote horizontale, étudie le signe de $f(x)-\ell$ .