Logarithme — simplifier, résoudre, étudier — Exercices Terminale — Sigma Enseignement

Exercice 1 — Simplifier et résoudre avec $\ln$

Le logarithme transforme les produits en sommes :

\ln(ab)=\ln a+\ln b

\ln\tfrac{a}{b}=\ln a-\ln b

\ln(a^n)=n\ln a

, avec

\ln e=1

. Avant toute résolution, un réflexe non négociable : donner l'ensemble de définition (le

\ln

n'existe que pour des nombres strictement positifs).

Simplifier les expressions suivantes.
1. $\ln(3e)$ et $\ln(\sqrt{e})$ .
2. $\ln\tfrac13+\ln\tfrac35+\ln\tfrac57+\ln\tfrac79$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ .
1. $\ln(3x)=8$ .
2. $\ln(x^2)=1$ .
Résoudre l'inéquation $\ln(5-x)-\ln 3+\ln(x-1)\geq 0$ .

Voir la correction

1. a. On casse le produit et on reconnaît les puissances de $e$ : $\ln(3e)=\ln3+\ln e=\ln3+1$ ; et $\ln(\sqrt e)=\ln(e^{1/2})=\tfrac12\ln e=\tfrac12$ .

1. b. La somme de logarithmes est le logarithme du produit. Or ce produit télescope : $\tfrac13\times\tfrac35\times\tfrac57\times\tfrac79=\tfrac19$ (chaque numérateur annule le dénominateur précédent). Donc la somme vaut $\ln\tfrac19=-\ln9=-2\ln3$ .

2. a. D'abord le domaine : $3x>0$ , soit $x>0$ . Ensuite, on applique $\exp$ (réciproque de $\ln$ ) : $\ln(3x)=8\iff 3x=e^8\iff x=\dfrac{e^8}{3}$ — bien positif, donc accepté.

2. b. Domaine : $x^2>0$ , soit $x\neq0$ . Puis $\ln(x^2)=1\iff x^2=e\iff x=\sqrt e$ ou $x=-\sqrt e$ (attention : les deux conviennent, l'énoncé porte sur $x^2$ , pas sur $x$ ).

3. Domaine d'abord : il faut $5-x>0$ et $x-1>0$ , soit $1<x<5$ . Ensuite on regroupe les logarithmes en un seul : l'inéquation s'écrit $\ln\dfrac{(5-x)(x-1)}{3}\geq0=\ln1$ . Par **croissance de $\ln$ **, cela équivaut à $\dfrac{(5-x)(x-1)}{3}\geq1$ , soit $(5-x)(x-1)\geq3$ . On développe : $-x^2+6x-5\geq3$ , d'où $x^2-6x+8\leq0$ , c'est-à-dire $(x-2)(x-4)\leq0$ , donc $2\leq x\leq4$ . On croise avec le domaine $]1;5[$ : l'ensemble solution est $[2\,;4]$ .

Le réflexe à retenir

Trois réflexes avec $\ln$ : (1) domaine avant tout (arguments $>0$ ), et on recroise la solution avec lui à la fin ; (2) pour résoudre, regrouper les $\ln$ en un seul puis utiliser la croissance ( $\ln A\geq\ln B\iff A\geq B$ , arguments positifs) ; (3) $\ln$ et $\exp$ sont réciproques, on passe de l'un à l'autre pour libérer l'inconnue.

Exercice 2 — Étude de $x\mapsto x\ln x$

On étudie

f(x)=x\ln x

. C'est un produit de deux fonctions dérivables sur

]0;+\infty[

; on rappelle la limite de référence

\lim_{x\to0^+}x\ln x=0

(la puissance l'emporte sur le logarithme).

Déterminer l'ensemble de définition (et de dérivabilité) de $f$ .
Calculer $f'(x)$ et étudier les variations de $f$ .
En déduire le minimum de $f$ sur son ensemble de définition.

Voir la correction

1. $\ln x$ n'existe que pour $x>0$ : l'ensemble de définition est $]0\,;+\infty[$ . Sur cet intervalle, $f$ est un produit de fonctions dérivables, donc dérivable.

2. Produit $u=x$ , $v=\ln x$ : $f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac1x=\ln x+1$ . Pour le signe, on résout $\ln x+1\geq0\iff\ln x\geq-1\iff x\geq e^{-1}$ (croissance de $\exp$ ). Donc $f$ décroît sur $]0\,;e^{-1}]$ et croît sur $[e^{-1};+\infty[$ .

3. Le changement de sens de variation se fait en $x=e^{-1}=\tfrac1e$ : c'est là qu'est le minimum. Il vaut $f\!\left(\tfrac1e\right)=\tfrac1e\ln\tfrac1e=\tfrac1e\times(-1)=-\dfrac1e$ . Le minimum de $f$ est donc $-\dfrac1e$ (atteint en $\tfrac1e$ ).

Le réflexe à retenir

Pour une fonction avec $\ln$ : commence par le domaine ( $x>0$ ), dérive (souvent un produit ou quotient qui fait apparaître $\ln x$ ), puis résous $f'(x)=0$ en te ramenant à $\ln x=c\iff x=e^{c}$ . Le minimum/maximum se lit là où la dérivée change de signe.