Mathématiques · Terminale · Logarithme

Logarithme népérien — équations et variations (techno)

Deux exercices type : résoudre des équations avec $\ln$ et exp, puis étudier une fonction avec $\ln$.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Résoudre avec ln

\ln

\exp

sont réciproques : ils s'annulent mutuellement,

\ln(e^x)=x

e^{\ln x}=x

(pour

x>0

). C'est ce qui permet de « libérer » l'inconnue.

Résoudre $\ln x=2$ .
Résoudre $e^{x}=5$ .

Voir la correction

1. Pour isoler $x$ « coincé » dans un $\ln$ , on applique $\exp$ aux deux membres : $\ln x=2\iff x=e^{2}$ (bien positif, donc accepté).

2. Symétriquement, pour isoler $x$ « coincé » dans une exponentielle, on applique $\ln$ : $e^{x}=5\iff x=\ln 5$ .

Le réflexe à retenir

$\ln$ enfermé ? applique $\exp$ . Exponentielle enfermée ? applique $\ln$ . Ces deux fonctions sont réciproques : appliquer l'une annule l'autre et libère l'inconnue (sans oublier la condition $x>0$ pour $\ln$ ).

Exercice 2 — Étude d'une fonction avec ln

On étudie

f(x)=x-\ln x

sur

]0\,;+\infty[

(le

\ln

impose

x>0

). On rappelle

(\ln x)'=\tfrac1x

Calculer $f'(x)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le minimum de $f$ .

Voir la correction

1. $f'(x)=1-\dfrac1x$ . On met au même dénominateur pour lire le signe : $f'(x)=\dfrac{x-1}{x}$ .

2. Sur $]0;+\infty[$ , le dénominateur $x>0$ : le signe de $f'$ est donc celui de $x-1$ . Ainsi $f$ décroît sur $]0;1]$ , croît sur $[1;+\infty[$ , avec un **minimum en $x=1$ ** : $f(1)=1-\ln1=1$ .

Le réflexe à retenir

Fonction avec $\ln$ : **domaine $x>0$ d'abord, puis dérive et mets $f'$ au même dénominateur** pour lire son signe. Le minimum/maximum est là où $f'$ change de signe.