Loi binomiale — reconnaître, calculer, interpréter — Exercices Terminale — Sigma Enseignement

Exercice 1 — Reconnaître une loi binomiale et calculer

Avant tout calcul, on justifie la loi. Une loi binomiale

\mathcal{B}(n\,;p)

apparaît quand on répète

n

fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (succès de probabilité

p

), et qu'on compte les succès. Un QCM de

10

questions à

4

choix, répondu au hasard ;

X

= nombre de bonnes réponses.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
Calculer $P(X=0)$ (valeur exacte).
Calculer l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$ .
En déduire $P(X\geq 1)$ (arrondi à $10^{-3}$ ).

Voir la correction

1. On coche les critères : $10$ questions = ** $10$ répétitions ; répondre au hasard rend les questions indépendantes et identiques** ; deux issues « bonne / mauvaise » avec succès de probabilité $p=\tfrac14$ (une bonne réponse sur $4$ ). $X$ compte les succès : $X$ suit $\mathcal{B}\!\left(10\,;\tfrac14\right)$ .

2. $X=0$ signifie **échouer aux $10$ questions**, chacune avec probabilité $\tfrac34$ : $P(X=0)=\left(\tfrac34\right)^{10}=\dfrac{3^{10}}{4^{10}}=\dfrac{59\,049}{1\,048\,576}\approx0{,}056$ .

3. On applique les formules de la loi binomiale : $E(X)=np=10\times\tfrac14=2{,}5$ et $V(X)=np(1-p)=10\times\tfrac14\times\tfrac34=\dfrac{30}{16}=1{,}875$ .

4. L'événement $\{X\geq1\}$ (« au moins une bonne réponse ») est le contraire de $\{X=0\}$ — c'est bien plus court à calculer ainsi : $P(X\geq1)=1-P(X=0)\approx1-0{,}056=0{,}944$ .

Le réflexe à retenir

Toujours justifier la loi binomiale en citant les critères (répétition, indépendance, deux issues, comptage de succès) avant de calculer. Formules à connaître : $E(X)=np$ , $V(X)=np(1-p)$ . Pour « au moins un », passe par le contraire : $P(X\geq1)=1-P(X=0)$ .

Exercice 2 — Contrôle qualité

Une machine produit des pièces défectueuses avec probabilité

0{,}05

, indépendamment. On prélève un lot de

20

pièces ;

Y

= nombre de défectueuses. Les probabilités « en bloc » (

P(Y\leq k)

) se lisent à la calculatrice.

Justifier que $Y$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
Calculer $P(Y=0)$ , puis $P(Y\geq 1)$ (arrondis à $10^{-3}$ ).
Calculer $P(Y\leq 2)$ à la calculatrice (arrondi à $10^{-3}$ ).
Déterminer le nombre moyen de pièces défectueuses par lot.

Voir la correction

1. $20$ pièces prélevées = $20$ répétitions indépendantes ; chaque pièce est défectueuse ou non, avec la même probabilité $p=0{,}05$ ; $Y$ compte les défectueuses : $Y$ suit $\mathcal{B}(20\,;0{,}05)$ .

2. $P(Y=0)=0{,}95^{20}\approx0{,}358$ (aucune défectueuse). Par passage au contraire : $P(Y\geq1)=1-P(Y=0)\approx1-0{,}358=0{,}642$ .

3. $P(Y\leq2)$ cumule $P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)$ : à la calculatrice, $P(Y\leq2)\approx0{,}925$ .

4. Le nombre moyen est l'espérance : $E(Y)=np=20\times0{,}05=1$ pièce défectueuse par lot en moyenne.

Le réflexe à retenir

Distingue les probabilités ponctuelles ( $P(Y=k)$ , avec les coefficients binomiaux) des probabilités cumulées ( $P(Y\leq k)$ , à la calculatrice). « Au moins un » → contraire de « aucun ». Le « nombre moyen » est toujours l'espérance $np$ .