Loi binomiale — probabilités et espérance (techno) — Exercices Terminale — Sigma Enseignement

Exercice 1 — Reconnaître et calculer

Une loi binomiale

\mathcal{B}(n\,;p)

apparaît quand on **répète

n

fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues** (succès de probabilité

p

), et qu'on compte les succès.

Un dé équilibré est lancé $5$ fois ; $X$ compte le nombre de « six ». Donner la loi de $X$ .
Calculer $P(X=0)$ (valeur exacte) puis $P(X\geq 1)$ (arrondi à $10^{-3}$ ).

Voir la correction

1. On vérifie les critères : $5$ lancers indépendants et identiques, deux issues « six / pas six » avec succès de probabilité $\tfrac16$ . $X$ compte les six : $X$ suit $\mathcal{B}\!\left(5\,;\tfrac16\right)$ .

2. $X=0$ = « aucun six en $5$ lancers », soit $\left(\tfrac56\right)^5=\dfrac{3125}{7776}\approx0{,}402$ . Puis, par passage au contraire : $P(X\geq1)=1-P(X=0)\approx0{,}598$ .

Le réflexe à retenir

Toujours justifier la loi (répétition, indépendance, deux issues, comptage). Pour « au moins un », passe par le contraire : $P(X\geq1)=1-P(X=0)$ — bien plus rapide.

Exercice 2 — Espérance

Pour

X\sim\mathcal{B}(n\,;p)

, le nombre moyen de succès est l'espérance

E(X)=np

Une machine produit des pièces dont $8\%$ sont défectueuses. Sur un lot de $50$ pièces, quel est le nombre moyen de pièces défectueuses ?

Voir la correction

1. Le nombre $X$ de pièces défectueuses suit $\mathcal{B}(50\,;0{,}08)$ ( $50$ pièces, chacune défectueuse avec probabilité $0{,}08$ ). Le nombre moyen est $E(X)=np=50\times0{,}08=4$ pièces.

Le réflexe à retenir

Le « nombre moyen » est toujours l'espérance. Pour une loi binomiale, elle se calcule sans effort : $E(X)=np$ .