Inégalité de concentration (Bienaymé-Tchebychev) — Exercices Terminale — Sigma Enseignement

Exercice 1 — Appliquer l'inégalité de concentration

L'outil. L'inégalité de concentration (Bienaymé-Tchebychev) affirme que, pour toute variable aléatoire

Y

et tout réel

a>0

P\big(|Y-E(Y)|\geq a\big)\leq \dfrac{V(Y)}{a^2}

. Elle majore la probabilité de s'éloigner de la moyenne. Le fil rouge, dans tout ce chapitre, est le même : reconnaître un écart à la moyenne, appliquer l'inégalité, puis passer au complémentaire.

Une somme. $X_1,\dots,X_{100}$ sont indépendantes, de même loi, d'espérance $23{,}5$ et de variance $357{,}75$ ; on pose $Z=X_1+\cdots+X_{100}$ . Démontrer que $P(1950<Z<2750)\geq 0{,}75$ .
Une moyenne. $M_n=\dfrac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)$ , où les $X_i$ sont indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $0{,}85$ .
1. Déterminer $E(M_n)$ et $V(M_n)$ .
2. Montrer que $P(0{,}75<M_n<0{,}95)\geq 1-\dfrac{12{,}75}{n}$ .
3. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel cette probabilité dépasse $0{,}9$ .

Voir la correction

1. *Commençons par les paramètres de $Z$ .* Comme $Z$ est une somme (et non une moyenne), on additionne : par linéarité de l'espérance, $E(Z)=100\times23{,}5=2350$ ; et comme les $X_i$ sont indépendantes, les variances s'additionnent aussi, $V(Z)=100\times357{,}75=35\,775$ .

Reconnaissons ensuite un écart à la moyenne. L'intervalle $]1950\,;2750[$ est **centré sur $2350$ **, car $2350-400=1950$ et $2350+400=2750$ . Autrement dit, $1950<Z<2750$ équivaut à $|Z-2350|<400$ : on ne parle plus d'un intervalle, mais d'un écart — le langage exact de l'inégalité.

*Appliquons l'inégalité avec $a=400$ .* $P(|Z-2350|\geq400)\leq\dfrac{V(Z)}{a^2}=\dfrac{35\,775}{160\,000}\approx0{,}224$ . Puis passons au complémentaire, car on veut la probabilité de rester proche : $P(1950<Z<2750)=1-P(|Z-2350|\geq400)\geq1-0{,}224=0{,}776$ . Comme $0{,}776\geq0{,}75$ , l'inégalité demandée est démontrée.

2. a. Chaque $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $0{,}85$ , donc $E(X_i)=0{,}85$ et $V(X_i)=0{,}85\times0{,}15=0{,}1275$ . Ici $M_n$ est une moyenne : l'espérance ne bouge pas, $E(M_n)=0{,}85$ , mais la variance est **divisée par $n$ ** (c'est tout l'intérêt de moyenner), $V(M_n)=\dfrac{0{,}1275}{n}$ .

2. b. Même trajet qu'en 1. L'intervalle $]0{,}75\,;0{,}95[$ est centré sur $0{,}85$ , donc $0{,}75<M_n<0{,}95\iff|M_n-0{,}85|<0{,}1$ : marge $a=0{,}1$ . L'inégalité donne $P(|M_n-0{,}85|\geq0{,}1)\leq\dfrac{V(M_n)}{a^2}=\dfrac{0{,}1275/n}{0{,}01}=\dfrac{12{,}75}{n}$ . En passant au complémentaire : $P(0{,}75<M_n<0{,}95)\geq1-\dfrac{12{,}75}{n}$ .

2. c. On cherche le plus petit $n$ garantissant une probabilité $>0{,}9$ . Il suffit que le minorant dépasse $0{,}9$ (si la borne inférieure dépasse $0{,}9$ , la probabilité aussi) : on résout $1-\dfrac{12{,}75}{n}>0{,}9$ , soit $\dfrac{12{,}75}{n}<0{,}1$ , d'où $n>127{,}5$ . Comme $n$ est entier, le plus petit convenable est $n=128$ .

Le réflexe à retenir

Le trajet est toujours le même : (1) calculer $E$ et $V$ — attention, pour une somme on additionne les variances (si indépendance), pour une moyenne on divise la variance par $n$ ; (2) réécrire l'intervalle centré sur l'espérance en écart à la moyenne $|Y-E(Y)|<a$ ; (3) appliquer Bienaymé-Tchebychev ; (4) passer au complémentaire pour minorer la probabilité de rester proche. Pour un « plus petit $n$ », on impose la condition au minorant.

Exercice 2 — Majorer une fluctuation

On réutilise le même outil dans trois situations différentes. À chaque fois, le vrai travail est de faire apparaître un écart à la moyenne

|Y-E(Y)|\geq a

à partir de l'événement de l'énoncé.

Temps d'attente. $T_1,T_2,T_3$ sont indépendantes, d'espérance $6$ et de variance $1$ ; $S=T_1+T_2+T_3$ . Démontrer que $P(14<S<22)\geq 0{,}81$ .
Support entier. $X$ ne prend que des valeurs entières $\geq 1$ , avec $E(X)=1{,}5$ et $V(X)=\dfrac{11}{12}$ . Démontrer que $P(X\geq 3)\leq \dfrac{11}{27}$ .
Somme de deux lois. $X$ suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}747)$ et $Y$ , indépendante, vérifie $E(Y)=22{,}53$ , $V(Y)=9{,}81$ ; $Z=X+Y$ .
1. Déterminer $E(X)$ , $V(X)$ et calculer $P(X\geq 6)$ (arrondi à $10^{-3}$ ).
2. Donner $E(Z)$ et $V(Z)$ , puis montrer que $P(Z\leq 20 \text{ ou } Z\geq 40)<0{,}12$ .

Voir la correction

1. *Paramètres de $S$ (une somme).* Par linéarité, $E(S)=6+6+6=18$ ; par indépendance, $V(S)=1+1+1=3$ . Écart à la moyenne : l'intervalle $]14\,;22[$ est centré sur $18$ ( $18\pm4$ ), donc $14<S<22\iff|S-18|<4$ . Inégalité puis complémentaire : $P(|S-18|\geq4)\leq\dfrac{3}{16}$ , d'où $P(14<S<22)\geq1-\dfrac{3}{16}=\dfrac{13}{16}=0{,}8125\geq0{,}81$ .

2. Ici l'événement $\{X\geq3\}$ n'est pas d'emblée un écart : il faut le transformer. Prenons $a=1{,}5$ : l'événement $|X-1{,}5|\geq1{,}5$ signifie $X\geq3$ ou $X\leq0$ . Or l'énoncé précise que $X\geq1$ : le cas $X\leq0$ est impossible. Il reste donc l'équivalence $|X-1{,}5|\geq1{,}5\iff X\geq3$ — c'est l'astuce de l'exercice. On applique alors l'inégalité : $P(X\geq3)\leq\dfrac{V(X)}{1{,}5^2}=\dfrac{11/12}{9/4}=\dfrac{11}{12}\times\dfrac49=\dfrac{11}{27}$ .

3. a. $X$ suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}747)$ : pour une loi binomiale, $E(X)=np=10\times0{,}747=7{,}47$ et $V(X)=np(1-p)=10\times0{,}747\times0{,}253\approx1{,}890$ . La probabilité $P(X\geq6)=1-P(X\leq5)$ se lit à la calculatrice : $P(X\geq6)\approx0{,}918$ .

3. b. *Paramètres de $Z=X+Y$ :* par linéarité $E(Z)=7{,}47+22{,}53=30$ ; par indépendance $V(Z)=1{,}890+9{,}81=11{,}7$ . Écart à la moyenne : « $Z\leq20$ ou $Z\geq40$ » revient à s'écarter d'au moins $10$ de part et d'autre de $30$ , soit $|Z-30|\geq10$ . Inégalité : $P(|Z-30|\geq10)\leq\dfrac{V(Z)}{10^2}=\dfrac{11{,}7}{100}=0{,}117$ . Comme $0{,}117<0{,}12$ , l'inégalité est établie.

Le réflexe à retenir

Quand l'événement n'est pas déjà un écart à la moyenne, il faut le fabriquer : un intervalle $]{\mu-a}\,;{\mu+a}[$ devient $|Y-\mu|<a$ ; un « $\leq$ ou $\geq$ » de part et d'autre de $\mu$ devient $|Y-\mu|\geq a$ ; et un événement d'un seul côté (comme $X\geq3$ ) peut se ramener à un écart en exploitant une contrainte sur les valeurs (ici $X\geq1$ élimine l'autre côté).