Mathématiques · Terminale · Loi normale

Loi normale — probabilités et intervalles (techno)

Deux exercices type : calculer des probabilités avec la loi normale (à la calculatrice) et utiliser les intervalles « $1$, $2$, $3\,\sigma$ ».

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Calculer une probabilité

Pour une loi normale

\mathcal{N}(\mu\,;\sigma^2)

, on lit les probabilités à la calculatrice. À connaître : la « règle des sigmas », qui donne les probabilités des intervalles centrés sur

\mu

. La masse d'un fruit suit

\mathcal{N}(100\,;15^2)

Calculer $P(85<X<115)$ (arrondi à $10^{-3}$ ).
Calculer $P(X>130)$ (arrondi à $10^{-3}$ ).

Voir la correction

1. On reconnaît un intervalle **à $1\,\sigma$ ** de $\mu$ : $85=\mu-\sigma$ et $115=\mu+\sigma$ . Or $P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx0{,}683$ (règle bien utile pour vérifier la calculatrice).

2. $130=\mu+2\sigma$ : on lit $P(X>130)\approx0{,}023$ à la calculatrice (la « queue » au-delà de $2\sigma$ est faible).

Le réflexe à retenir

Repère si les bornes tombent sur $\mu\pm\sigma$ , $\mu\pm2\sigma$ , $\mu\pm3\sigma$ : les probabilités $0{,}683$ / $0{,}954$ / $0{,}997$ servent à vérifier ta calculatrice et à raisonner vite.

Exercice 2 — Intervalles remarquables

On retient

P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx0{,}954

: environ

95\%

des valeurs sont à moins de

2\sigma

de la moyenne. Ici

\mu=100

\sigma=15

Donner l'intervalle centré sur $\mu$ contenant environ $95{,}4\%$ des fruits.

Voir la correction

1. C'est l'intervalle **à $2\,\sigma$ ** : $[\mu-2\sigma\,;\mu+2\sigma]=[100-30\,;100+30]=[70\,;130]$ . Environ $95{,}4\%$ des fruits ont une masse entre $70$ g et $130$ g.

Le réflexe à retenir

« $95\%$ des valeurs » ⇔ intervalle ** $\mu\pm2\sigma$ **. La loi normale concentre presque tout ( $99{,}7\%$ ) dans $\mu\pm3\sigma$ : au-delà, c'est exceptionnel.