Primitives — reconnaître et déterminer — Exercices Terminale — Sigma Enseignement

Exercice 1 — Reconnaître et calculer des primitives

Chercher une primitive, c'est remonter la dérivation :

F

est une primitive de

f

F'=f

. Le meilleur moyen de vérifier une primitive proposée est donc… de la dériver. Et il existe une infinité de primitives, qui diffèrent d'une constante.

Vérifier que $F(x)=3x^3+3x^2+x$ est une primitive de $f(x)=(3x+1)^2$ sur $\mathbb{R}$ .
Déterminer une primitive de $f(x)=x^2-3x+1$ sur $\mathbb{R}$ .
Déterminer une primitive de $f(x)=-\dfrac{2}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$ .

Voir la correction

1. Pour vérifier, on **dérive $F$ ** et on regarde si l'on retombe sur $f$ : $F'(x)=9x^2+6x+1$ . Or $(3x+1)^2=9x^2+6x+1$ . On a bien $F'=f$ , donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. On remonte terme à terme, en utilisant qu'une primitive de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ : $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3x^2}{2}+x$ (à une constante près). On vérifie mentalement en dérivant : $F'(x)=x^2-3x+1$ . ✓

3. L'astuce est de reconnaître une dérivée connue. On sait que $(\sqrt x)'=\dfrac{1}{2\sqrt x}$ . Donc $\big(-4\sqrt x\big)'=-4\times\dfrac{1}{2\sqrt x}=-\dfrac{2}{\sqrt x}$ : une primitive est $F(x)=-4\sqrt x$ (à une constante près).

Le réflexe à retenir

Une primitive se trouve en remontant les formules de dérivation, et se vérifie en dérivant. Garde en tête les modèles : $x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ , $\dfrac{1}{2\sqrt x}\to\sqrt x$ , $\dfrac1x\to\ln x$ , $e^x\to e^x$ . Toutes les primitives diffèrent d'une constante.

Exercice 2 — Primitive vérifiant une condition

Parmi toutes les primitives de

f

(qui diffèrent d'une constante

C

), une seule vérifie une condition imposée

F(x_0)=y_0

: cette condition sert justement à **fixer la constante

C

**.

Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=x+\dfrac{1}{x^2}$ sur $]0\,;+\infty[$ telle que $F(1)=5$ .
Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=x^2-2x-\dfrac12$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1)=0$ .

Voir la correction

1. Étape 1 — la forme générale. Comme $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ a pour primitive $-x^{-1}=-\tfrac1x$ , les primitives de $f$ sont $F(x)=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac1x+C$ . *Étape 2 — fixer $C$ * grâce à la condition : $F(1)=\dfrac12-1+C=5$ , donc $C=\dfrac{11}{2}$ . Finalement $F(x)=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac1x+\dfrac{11}{2}$ .

2. Forme générale : $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2-\dfrac{x}{2}+C$ . Condition $F(1)=0$ : $\dfrac13-1-\dfrac12+C=0$ , d'où $C=\dfrac{7}{6}$ . Donc $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2-\dfrac{x}{2}+\dfrac{7}{6}$ .

Le réflexe à retenir

Toujours en deux temps : (1) écrire la primitive générale $F(x)=\dots+C$ ; (2) injecter la condition $F(x_0)=y_0$ pour résoudre en $C$ . C'est la condition qui sélectionne l'unique primitive cherchée.