Probabilités conditionnelles — arbre, probabilités totales, Bayes

Deux exercices type : exploiter un arbre pondéré et la formule des probabilités totales, puis retrouver une proportion inconnue et « renverser » un conditionnement.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Arbre pondéré et probabilités totales

Un arbre pondéré organise tout : on multiplie le long d'une branche (probabilité d'un chemin), on additionne les branches qui mènent au même événement (probabilités totales). Une usine reçoit

80\%

de ses boîtes de

A

20\%

B

;

10\%

des boîtes de

A

ont un défaut,

20\%

de celles de

B

. On note

D

« la boîte a un défaut ».

Traduire les données par un arbre pondéré (préciser les probabilités des branches).
Calculer $P(A\cap D)$ et $P(B\cap D)$ .
Montrer que $P(D)=0{,}12$ .
Une boîte présente un défaut. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de $B$ (arrondi à $10^{-2}$ ) ?

Voir la correction

1. Premier niveau (le fournisseur) : $P(A)=0{,}8$ , $P(B)=0{,}2$ . Second niveau (le défaut, conditionnel au fournisseur) : $P_A(D)=0{,}1$ et $P_A(\overline D)=0{,}9$ ; $P_B(D)=0{,}2$ et $P_B(\overline D)=0{,}8$ .

2. On multiplie le long des branches : $P(A\cap D)=P(A)\times P_A(D)=0{,}8\times0{,}1=0{,}08$ ; $P(B\cap D)=0{,}2\times0{,}2=0{,}04$ .

3. $A$ et $B$ forment une partition de l'univers (une boîte vient de $A$ ou de $B$ ). Par la formule des probabilités totales, on additionne les deux chemins menant à $D$ : $P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)=0{,}08+0{,}04=0{,}12$ .

4. Ici on renverse le conditionnement : on connaît le défaut, on cherche le fournisseur (c'est la formule de Bayes, mais on la reconstruit avec la définition). $P_D(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0{,}04}{0{,}12}=\dfrac13\approx0{,}33$ .

Le réflexe à retenir

Sur un arbre : multiplier le long d'une branche (intersection), additionner les branches d'un même événement (probabilités totales, avec une partition). Pour « renverser » un conditionnement ( $P_D(B)$ à partir de $P_B(D)$ ), reviens à la définition $P_D(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)}$ .

Exercice 2 — Retrouver une proportion inconnue

Dans un club, une proportion

p

de femmes.

\tfrac14

des femmes et

\tfrac13

des hommes adhèrent au tennis ; au total,

30\%

y adhèrent. On note

F

H

le genre et

T

« adhérer au tennis ». Ici la probabilité totale se lit à l'envers : la donnée globale

P(T)

sert à retrouver l'inconnue

p

À l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que $p$ vérifie $\tfrac14 p+\tfrac13(1-p)=0{,}3$ .
En déduire que $P(F)=\tfrac25$ .
Un membre adhérant au tennis est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

Voir la correction

1. $F$ et $H$ forment une partition, avec $P(F)=p$ et $P(H)=1-p$ . La formule des probabilités totales donne $P(T)=P(F)P_F(T)+P(H)P_H(T)=\tfrac14 p+\tfrac13(1-p)$ . Comme l'énoncé impose $P(T)=0{,}3$ , on obtient l'équation $\tfrac14 p+\tfrac13(1-p)=0{,}3$ .

2. On résout en multipliant tout par $12$ (pour chasser les dénominateurs) : $3p+4(1-p)=3{,}6$ , soit $3p+4-4p=3{,}6$ , d'où $-p=-0{,}4$ et $p=0{,}4=\tfrac25$ . Donc $P(F)=\tfrac25$ .

3. On renverse le conditionnement : $P_T(F)=\dfrac{P(F\cap T)}{P(T)}=\dfrac{P(F)P_F(T)}{P(T)}=\dfrac{\tfrac25\times\tfrac14}{0{,}3}=\dfrac{0{,}1}{0{,}3}=\dfrac13$ .

Le réflexe à retenir

La formule des probabilités totales se lit dans les deux sens : soit on calcule $P(T)$ à partir des branches, soit — si $P(T)$ est donné — on pose l'équation et on la résout pour retrouver une proportion inconnue. Puis on renverse le conditionnement avec la définition.