Probabilités conditionnelles — arbre pondéré (techno)

Deux exercices type : exploiter un arbre pondéré et les probabilités totales, puis renverser un conditionnement.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Arbre et probabilités totales

Sur un arbre pondéré : on multiplie le long d'une branche, on additionne les branches menant au même événement. Une entreprise fabrique

70\%

sur la chaîne

A

30\%

sur

B

;

A

produit

2\%

de défauts,

B

en produit

5\%

. On note

D

« défectueux ».

Calculer $P(A\cap D)$ et $P(B\cap D)$ .
En déduire $P(D)$ .

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1. On multiplie le long des branches : $P(A\cap D)=0{,}7\times0{,}02=0{,}014$ ; $P(B\cap D)=0{,}3\times0{,}05=0{,}015$ .

2. $A$ et $B$ forment une partition (un composant vient de l'une ou l'autre chaîne) : par les probabilités totales, $P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)=0{,}014+0{,}015=0{,}029$ .

Le réflexe à retenir

Arbre : × le long d'une branche, + entre branches d'un même événement (avec une partition). C'est la formule des probabilités totales.

Exercice 2 — Renverser le conditionnement

Quand on connaît le résultat (

D

) et qu'on cherche la cause (

B

), on renverse le conditionnement avec la définition

P_D(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)}

. On reprend

P(D)=0{,}029

Un composant est défectueux. Quelle est la probabilité qu'il provienne de la chaîne $B$ (arrondi à $10^{-2}$ ) ?

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1. $P_D(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0{,}015}{0{,}029}\approx0{,}52$ : plus d'une pièce défectueuse sur deux vient de $B$ , alors que $B$ ne fabrique que $30\%$ des pièces — logique, car $B$ est plus défaillante.

Le réflexe à retenir

« Sachant le résultat, d'où vient-il ? » = renverser le conditionnement : $P_D(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)}$ . Ne confonds jamais $P_D(B)$ et $P_B(D)$ : ce sont deux choses différentes.